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2-1 已知系统的微分方程为且初始条件为 求系统的完全响应、自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应。【解】：（一）自由响应 ，即齐次解，可以按照如下方法求得：令，特征方程为： ，特征根： ，，特征模式为，，于是（二）强迫响应，即特解，可以按照如下方法求得（参见表2-3）：因为原方程中的强迫项为，所以，将此特解代入原方程，得到 （三）完全解 ，可以按照如下方法求得：由于完全解通常是在 的条件下求得，因此需要知道初始条件 ， 。观察原方程可以看出，方程的右边不含冲激函数 ，且在 附近有界，于是在 附近 有界， 连续， 连续，因此， 根据以上初始条件，可以解出完全解中的常数 ，故（四）零输入响应 令，按照步骤（一）同样的方法可以得到：，由于输入信号为零，系统没有外部输入信号的激励作用，只在系统内部储能的作用下，按照系统固有的特征模式（和）运动，此时系统保持连续平稳的运动状态，初始条件不会产生跃变，因此， ，将它们代入 的表达式，得到，故（五）零状态相应此时的微分方程可以写成初始条件为。根据完全解的表达式可以得到用步骤（三）同样的分析方法可以知道，，将它们代入 的表达式，得到，故2-2 求系统的冲激响应。【解】：方法一：时域经典法令 ，系统方程变为，由于冲激响应是一种零状态响应，初始条件为 ，因此，需要考虑从到状态的跳变问题，以求得。根据冲激函数平衡法，观察方程两边可以知道， 中含有 ， 中不含，故在 附近有界，即（M是某个正实数）， ，对系统方程两边从到积分 于是，我们可以写出 时的系统微分方程和初始条件：，这是一个齐次方程。至此，求解冲激响应的问题就转化为当时求解齐次方程的问题。解此方程，得到：（） ，代入初始条件得到 ，因此，该系统的冲激响应为 中乘上是为了含摄的条件。方法二：冲激函数系数匹配法（参见教材2.6节例2-9）观察系统方程可以知道， 中不含冲激函数，于是 中只含有系统固有的特征运动模式 （特征方程为 ，特征根为 ），因此（特征模式乘上是为了含摄的条件） ，将 和代入系统方程， 注意上面的式子中，特征模式的系数自动平衡，这是由特征方程所保证的。比较 的系数，可以得到 ，故或者写作2-3 如图2-3所示电路，激励信号为，求当和时的响应信号。图2-3【解】 ， ，根据基尔霍夫电压定律，列出方程 两边对t求导，得到当 时，系统方程变为根据冲激函数平衡法（参见教材2.6节例2-9），可以知道 中含有，再加上系统固有的特征运动模式 ，于是系统的冲激响应具有如下形式 ，将和代入系统方程，比较和的系数，得到 ， ，故或者写作类似地，当时，可以求得系统的阶跃响应 可以验证冲激响应是阶跃响应的导数 2-4 一个系统的冲激响应为，激励信号为，试求系统的零状态响应。【解】：这是一个求卷积的问题，首先注意到对于任意函数 均成立（参见教材第77页（2-71）式），于是其中第4个等式中的积分的上下限由 给出，只有当 时，被积函数才不为零，因此积分下限为0，积分上限为t，而且t0，故整个积分的外面要乘上u(t)。2-5试求图2-5所示两信号的卷积，并画出波形。 图2-53-1设，试用表示下列各信号的频谱。（1）；（2）；（3）；（4）；【解】：（1）运用公式，（参见（2-72）式），以及频域卷积定理得到（2）根据频域微分定理： ，得到（3）根据时域微分定理，以及频移性质，得到（4）根据时移性质，以及时域卷积定理，得到：3-2先求如下图(a)所示信号的频谱的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由求出其余信号（b）（c）（d）的频谱的具体表达式。【解】：（a），对f(t)求一阶和二阶导数得到其中 ，根据时域微分定理，可知（b）由于故 （c） (d)根据尺度变换和时移性质 3-3 如图3-3所示余弦脉冲信号为，试利用线性和频域卷积性质求频谱。提示： ，是门函数或矩形脉冲。 图3-3图3-4【解】：由于，其中， ，，根据频域卷积定理可以得到 3-4 如图3-4所示两矩形函数和：(1) 画出的图形；(2) 求的频谱函数。【解】：不妨设 ，， ， 如下图所示3-5 已知，求信号的频谱函数的具体表达式。【解】：根据单边指数函数的频谱公式： ，以及时移性质，可以得到 因此3-6设，均按周期TS = (1/400)s抽样。试问哪个信号可以不失真地从抽样信号恢复出原信号？ 【解】： ，， ，根据奈奎斯特准则，，信号 采样后，可以不失真地从抽样信号恢复出原信号。3-7 已知如图3-7所示三角波信号，（1）求出其频谱；（2）是对以等间隔进行抽样所得信号，，，试求。【解】：（1）根据三角脉冲的频谱公式 （2）冲激序列的频谱（参加例3-10之（3-95）式） ， 3-8已知如图3-8所示半波余弦信号的傅里叶变换为，求的周期延拓信号的傅里叶变换。 图3-7图3