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淮北师范大学 2011届学士学位论文 一个线性变换的 所有不变子空间探讨 学院、专业数学科学学院 数学与应用数学 研 究 方 向 代 数 学 学 生 姓 名 付 辽 学 号 20071101038 指导教师姓名 杜 翠 真 指导教师职称 讲 师 2011年 4 月 15日 一个线性变换的所有不变子空间探讨 付 辽 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘 要 线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的所有不变子空间，在高等代数教材中也只是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论.本文首先给出了线性变换与不变子空间的定义，然后介绍线性变换以及不变子空间的性质，讨论了复数域及一般数域P上的线性空间的线性变换的不变子空间.同时本文总结了求解一个线性变换所有不变子空间的方法，并且结合一些实例加以应用. 关键词：线性变换，子空间，不变子空间 Discussion on all invariant subspaces of Linear transformation Fu Liao (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract The theory of the invariant subspaces of linear transformation is the important theory of high algebra. But the discussion on all the invariant subspace of the linear transformation is explained simply in the high algebra text-book, the paper makes further discussion. At first it gives the definition of linear transformation and invariant subspaces. Then introduces the nature of linear transformation, discusses the invariant subspaces of linear transformation in the complex field and the general number field P, at the same time, the paper summes up the method to solve the invariant subspaces of the linear transformation, combining with some application examples. Keywords: linear transformation，subspace，invariant subspace 目 录 引言 1 一、预备知识 1 （一）、线性变换和不变子空间定义 1 （二）、不变子空间的性质 1 （三）、线性变换与不变子空间的相关定理 3 二、复数域上线性变换的所有不变子空间 6 三、一般数域P上的线性变换的不变子空间 8 四、应用举例 11 结束语 14 参考文献 14 致 谢 15 引言 线性变换与不变子空间是高等代数中的重要的概念，但是对于一个线性变换的所有不变子空间的探讨，在高等代数教材中也只是粗略的讲解一下.为了增加这方面的知识，本文首先给出了线性变换，子空间的定义和不变子空间的性质,由线性变换与不变子空间的相关定理,得出复数域上和一般数域P上的线性变换的所有不变子空间. 这样对每一个具的线性变换,我们能表示出它的,所以本文尝试都是某一数域P上的线性空间，线性空间V上的线性变换的集合为L(V). 一、预备知识 （一）、线性变换和不变子空间定义 定义1 线性空间的一个变换称为线性变换,如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有 定义2 设是数域上线性空间的线性变换,是