不等式的若干明证方法.docxVIP

2016届本科毕业论文(设计) 题 目：不等式的若干证明方法 学 院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学12-1班 学生姓名：高春指导教师：马昌秀 答辩日期：2016年5 月3日 新疆师范大学教务处 目 录1.引言12.证明不等式的常用方法22.1比较法22.1.1 作差法22.1.2作商法22.2 分析法32.3 综合法42.4 反证法52.5 放缩法5 2.6 数学归纳法6 2.7换元法7 2.7.1增量换元法..72.7.2三角换元法72.7.3 比值换元法82.8 标准化法92.9 公式法92.10 分解法102.11 构造法102.11.1 构造对偶式模型102.11.2 构造函数模型112.12 借助几何法113.利用函数证明不等式123.1 极值法124.利用著名不等式134.1 均值不等式134.2 柯西-施瓦茨不等式144.3 拉格朗日中值定理144.4 赫尔德不等式154.5 詹森不等式164.6 闵可夫斯基不等式174.7 伯努利不等式174.8 切比雪夫不等式184.9 琴生不等式194.10 艾尔多斯—莫迪尔不等式194.11 排序不等式定理195.小结20参考文献21谢 辞22不等式的若干证明方法摘 要:不论在初等数学还是高等数学中,不等式都是非常重要的内容,而不等式的证明又是不等式知识的重要组成部分,在本篇文章中,综述了证明不等式的若干方法,从初等数学不等式的证明中经常用到的数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等,到高等数学不等式的证明中经常利用的中值定理、泰勒公式以及一些著名的不等式,使不等式的证明方法更加的完善,有利于进一步的探讨和研究不等式的证明。关键词:不等式；不等式证明；常用方法Some prove inequalities methodAbstract: in both the elementary mathematics and advanced mathematics, the content of the inequality is very important, inequality and the proof is an important part of knowledge, in this article, several methods to prove inequality are reviewed in this paper, from the elementary mathematics inequality analyst frequently used mathematical induction, the reduction to absurdity, zooming method, substitution method and elementary method, function method, geometric method, etc., to the higher mathematics inequality analyst often use of mean value theorem, Taylor formula and some famous inequality, the inequality proof method more perfect, is conducive to further explore and research of inequality proof.Key words: inequality; Inequality proof; Commonly used method1.引言 在生活中,虽然不等关系要比相等关系更多的存在于现实世界里,但是人们对于不等式的认识要比等式要迟的多,直到17世纪以后,不等式的理论才逐渐发展起来,成为数学基础理论中的一个重要组成部分。数学不等式的研究最早从欧洲国家开始兴起, 其中有一个较大的研究群体, 它是位于欧洲东部的原南斯拉夫国家,对不等式的研究更是做出了巨大贡献。在数学不等式理论的发展史上,一共有两个比较重大的事件,它们分别是：切比雪夫在1882 年发表的论文和高德菲·哈罗德·哈代在1928 年任伦敦数学会主席届满时的演讲。哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作《Inequalities》的前言中更是对不等式的哲学做出了非常有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,并且应该给出使等号成立的证明。Fink说道：人们应该尽量陈述和证明那些不能推广的不等式；哈代也说：“基本的不等式是初等的”。自哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作《Inequalities》由 Cambridge University Press在1