幂函数图像与性质(有的有,有的没有).docVIP

幂函数的性质与图像 1、幂函数的定义 一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像 （1） （2） （3） （4） （5） 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0， +∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. （4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数 . 轴和直线之间，图象由上至下，指数 .：　 规律总结 　　1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 　　2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，、、、是增函数， 在（0，+∞）上， 是减函数。 例1．已知函数，当 为何值时，： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）或（2）（3）（4）（5） 变式训练： 已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。 简解： 解得： 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 例2．比较大小： （1） （2）（3）（4） 解：（1）∵在上是增函数，，∴ （2）∵在上是增函数，，∴ （3）∵在上是减函数，，∴； ∵是增函数，，∴； 综上， （4）∵，，， ∴ 例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值． 解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点， ∴，∴； ∵，∴，又函数图象关于原点对称， ∴是奇数，∴或． 例4、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域． 　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3． 　　当t＝－1时，ymin＝3． 　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）． 　　点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法． 幂函数练习试题（含答案） 1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 答案：Ｃ 2. 下列函数在上为减函数的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 答案：Ｂ 3. 下列幂函数中定义域为的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 答案：Ｄ 4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　） 　A．{x|x≠0或x≠2}　　B．（－∞，0）（2，＋∞） C．（－∞，0）］［2，＋∞］　D．（0，2） 　解析：函数可化为根式形式，即可得定义域 答案：B 5．函数y＝（1－x2）的值域是（　　） 　　　A．［0，＋∞］　　　B．（0，1） C．（0，1）　　　　 D．［0，1］ 　　解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝． 　　∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．　　答案：D 6．函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，1）　　B．（－∞，0） C．［0，＋∞］　　D．（－∞，＋∞） 　解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性选B． 7．若a＜a，则a的取值范围是（　　） 　A．a≥1　　　　　B．a＞0 C．1＞a＞0　　　　　 D．1≥a≥0 　解析：运用指数函数的性质，选C． 8．函数y＝的定义域是 。 　解析：由（15＋2x－x2）3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5． 答案：A 9．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________． 解析：m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1． 10、讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 　　思路：函数y＝是幂函数． 　　（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R． 　　（2）∵xR，∴