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2011年冬季班初二数学竞赛班讲义（1）答案 二、例题选讲 例1．解：将代入，消去a、b，得 ， . 若x+1=0，即，则上式左边为0，右边为不可能. 所以x+1≠0，于是 . 因为x、y都是整数，所以，即或0，进而y=8或0. 故 或 当时，代入得，； 当时，代入得，. 综上所述，a、b满足关系式是，或者，a是任意实数. 例2．设九位数的奇位数字之和为x偶位数字之和为y，则x + y = 1+ 2 +3 +…… +8 + 9 = 45，且x-y=0，11，22，33或44。 ∵x + y与x – y的奇偶性相同，∴x – y =11或33。 即（1） ∴由（1）得或（2）得（舍） ∴九位数要取到最大，∴只有987652413即为所求。 例3．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 两式相加，得 ， 则 ． 例4：由①②得，由③得故 所以 S-9/S+9=3/4，所以 S=63(千米)， 2S=126(千米)．答 A，B两地相距126千米． 例5：解：设四列车的速度为x米/秒，乙列车的速度为y米/秒，依题意有　　 解得x=18，y=12　　甲车的速度是18米/秒，乙车的速度是12米/秒　元． 由①得，，∴x = 190（元）由②得，，将x代入，得 y=390 （元） 故，第一次支付 0.9×190=171（元），第二次支付270+(390―300)×0.8=342（元） 例7．分析与解 设切下重量x千克，设重m千克铜合金中含铜百分数为q1， n千克的铜合金中含铜百分数为q2，则切下的两块中分别含铜xq1和xq2，而混合后所得两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]和[xq2+(m-x)q1]．有方程解得 例8：解 如图1－76，设圆形跑道总长为2S，又设甲乙的速度分别为V，V＇，再设第一次在C点相遇，则第二次相遇有以下两种情况： (1)甲乙第二次相遇在B点下方D处，此时有方程组 得 S=0(舍去)，S=240．所以2S=480米．经检验是方程的解．(2)若甲乙第二次相遇在B的上方D＇处，则有方程组解此方程组得S=0(舍去)，S=360．所以2S=720米．经检验也是方程的解． 　　这样，两人可能在D点处相遇，也可能在D＇点处相遇，故圆形跑道总长为480米或720米． 例9、解：设原长方形队列中有同学人，由已知条件知和均为完全平方数，于是可设 其中均为正整数，且 ①-②，得由①、②可知，都是8的倍数，所以均能被4整除，于是均能被4整除，所以 或 解得 或所以， 故原长方形队列中有136或904个同学 三、强化训练 1．C 2.A 3. 设父亲的速度为v大，儿子的速度为v，一圈的路程为s，则＝5·，整理得4v大＝6v小 4．由题意，甲从A地到B地共用时间为，而乙用的时间为：，即乙用的时间多于甲用的时间，所以甲先到达B地，且甲、乙所用的时间比为24﹕25。 5.根据题意，得方程 1100×80%－a=10%·a 解之，得a=800元 2011年冬季班初二数学竞赛班讲义（2）答案 二、例题选讲 例1.解.130，提示：由用x来表示y、z，得y=40－2x，z=x－10， 又由y≥0，z≥0，得解得10≤x≤20，又把y=40－2x，z=x－10代入M=5x+4y+2z得，M=－x+140，显然M是关于x的一次函数，且M随x增大而减小，所以当x=10时，M的最大值为130． 例2.分析：由图（a）知每条输入传送带每小时进库的货物流量是13吨，由图（b）知每条输出传送带每小时出库的货物流量是15吨，再结合图（c）捕捉相关信息进行求解． 解：设在0时至2时内有x条输入传送带和y条输出传送带在工作，则由图（c）得13x-15y==2，解这个不定方程得x=14，y=12；所以在0时至2时内有14条输入传送带和12条输出传送带在工作；同理在4时至5时内有6条输入传送带和6条输出传送带在工作． 评注：解决此类问题关键是正确识别图象（折线），从中发现，挖掘变量与不变量、变量与变量间的联系，进而建立适合题意的不定方程，将问题转化为研究我们所熟悉的不定方程整数解． 例3．解：设王老师今年为岁。是6的倍数 也是6的倍数 又是5的倍数 因此，既是6的倍数，又是5的倍数 故是30的倍数，设为30 令，；，；， 因为王老师接近退休年龄，所