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固体物理习题 固体电子论基础 已知金属铯的EF=1.55eV，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。 (提示:常温下与相差不大，可以令) 解：因为常温下费米能级EF与绝对零度时的费米能级相差不大，可令EF≈。金属中的电子可近似地按自由电子气处理，在E～E+dE能量区间内的电子态数(计及自旋)为: 其中：， 为金属的体积，为电子的质量。 由于电子遵循费米分布，于是在能量区间E～E+dE中的电子数为： 式中是费米分布函数。由于在绝对零度时有： 因此电子总数为： 单位体积内的电子数为： 代入有关数据得到： 证明：在T=0K时，费米能级处的能态密度为：，式中N为金属中的自由电子数。 证明：在空间中，在周期性边界条件下，以为半径的球内，电子的数目为（记及自旋）： 因此： （1） 已知自由电子的能量为：，代入（1）式得： （2） 因此电子按照能量分布的状态密度： （3） 当T=0K时，全部电子处于费米球内。设费米球半径为，则电子总数为： （4） 用（4）式除（3）式，并稍加整理便得到下式： 上式是以电子的费米能级为参量的能态密度表达式。当=时即得： 已知绝对零度时银的费米能为5.5eV，试问在什么温度下，银的电子摩尔比热和晶格摩尔比热相等？（银的德拜温度是210K）。 解：一个电子对比热的贡献为： 这个比热只是在低温条件下才重要。在低温条件下，按照德拜模型，晶格振动对比热的贡献为： 式中是晶体的德拜温度。由于1mol银中包含有N0=6.023×1023个原子,每个银原子贡献一个电子,因而,银的电子摩尔比热为: 上式中,为气体常数. 令： 得： 如果具有bcc结构的Li晶体的晶格常数为：?，计算其费米能()、费米温度及每个价电子的平均动能。 解：由习题1可知，在三维自由电子气系统中，系统内的总电子数为： （1） 因此有： （2） 对于具有体心立方结构的单价金属Li，每个立方晶胞内含有两个原子，每个原子有一个价电子，故自由电子的浓度为：，为晶格常数。将相应的数值代入（2）式中，得： 平均动能： 费米温度为：K 已知某种具有面心立方结构的金属中自由电子气的费米球半径为：，其中为晶格参数，每个原子的原子量为63.5，晶体的质量密度为，试求：（1）该金属的原子价（2） 解，（1）由习题4可知，0K下的费米能为： 由此得费米球半径为： （1） 对于fcc结构，原子的体积密度为：，如果原子价为：，那么电子的体积密度为：，代入（1）式，得： 与已知条件对照，可知，即每个原子的价电子数为1。 （2）由于原子的体积密度为：，是原子量，自由电子的体积密度为：，故0K下电场费米能为： 代入有关数据得： 金属的电导理论 已知金属铜的费米能在273K温度下电阻率，求（1）铜中电子的费米速度，（2）平均自由时间和平均自由程。 解：因为费米球半径为： 故费米面上的电子速率为： （2）对于自由电子等能面为球的金属，其电导率表示为： 式中是的函数，即。 因此平均自由程为： 由于：，因此有： 那么电子的平均自由程为： ? 平均自由时间为： 证明对于具有球形费米面的金属，其电导率可以表示为： 式中为电子电量；、为费米面上电子的速度和驰豫时间（或平均自由时间）；为费米面附近单位晶体体积的能态密度，因此，其中是晶体的能态密度。 证明：因为： （1） 所以： （2） 另外由“固体电子论基础”的习题1可知，晶体中自由电子的浓度可以由下式表示： （3） （3）式除以（2）式得： （4） 所以： （5） 上式中： （其中：） （6） （6）式代入（5）式得：