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初等几何研究试题答案 一、线段与角的相等 P491 1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AF ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD ∴AD=AE 在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O ,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=BD,求证:BD平分∠ABC. 证明:延长AE,BC交于点F 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE. 证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形 且底角是∠CDB=[180o－(180o－2)]÷2=. ∴∠BDE=(180°－2)-=180o－3 ∴A、B、D、E共圆 同理A、C、D、E共圆 ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE 4.设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60o 证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD ∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC ∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□ ∴AH=BD 又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R ∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30o ∴∠BDC=60o 又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60o 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交 点0且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2. ∴∠2=∠3, ∴GB = GO, ∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE, ∵ FG∥AB, ∴AF／CF=BG／CG=GO／CG, 又∵△FCO∽△COG, ∴CO／CF=GO／CG=AF／CF, ∴CO=AF, ∵CO=CE, ∴AF=CE. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行 线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰. 证明:如图所示 设AC、ED的交点为F ∵AD是∠A的平分线 ∴∠1=∠2 ∵DE∥AB ∴∠1=∠3 ∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2 ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5 则△FAD和△FCE是等腰三角形 ∴AF=DF,EF=CF ∴AC=DE 同理可证 BC=DE ∴AC=BC ∴△ABC是等腰三角形 7. 三条中线把△ABC分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等. 求证:△ABC是正三角形． 证明:∵△AOF、△AOE、△COD、△COE、△BOF、△BOD面积都相等 ∴S△OFB=S△OEC 即:BF×r+FO×r+BO×r=CE×r+OE×r+OC×r (BF+FO+BO)×r= (CE+OE+OC)×r ∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC ∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE 又F、E分别为AB、AC之中点 ∴AB=AC 同理:AB=BC 故△ABC是正三角形. 8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等 证明:该四边形为菱形. 证明:又∵△AO