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第四章　综合指标 汤来香tanglx2000@163.com 第四节　标志变异指标 一、标志变异指标概述 标志变异指标——是反映总体各单位标志值变动程度或差异程度、度量统计分布离中趋势的综合指标。又称为标志变动度或离散程度。 变异指标反映离中趋势： 　　离散程度不同就意味着变量在平均数周围分布的密集程度不同，从而同样的平均数对于两个总体具有不同的代表性。【例】 A组：65、68、72、75分 　 B组：34、51、95、100分 A组的总成绩：280分，平均成绩70分 B组的总成绩：280分，平均成绩70分 图示： 标志变异指标的作用： 是衡量平均数代表性的尺度； 　变异指标越大，平均数的代表性越小， 　变异指标越小，平均数的代表性越大。 可以用来说明现象变动过程的　稳定性和均衡性； 有助于确定必要的抽样数目。 种类： 全距 四分位差 平均差 标准差 离散系数 二、标志变异指标的计算 （一）极差（全距、Ｒ） 全距的特点： 优点：计算简便，含义清晰，可以说明总体中标志值变动的范围。还是编制组距数列确定组数、组距的重要依据。 缺点：容易受两极端值影响，带有较大的偶然性，而对于两个极端值之间标志值的分散状况没有反映，因而不能准确描述出数据的分散程度，只是测定标志变异指标的粗略方法，不能全面反映总体各单位标志的变异程度。 补充：四分位差 把一个变量数列分成四等份，形成三个分割点Q1 、 Q2 、 Q3，这三个分割点的数值就称为四分位数，Q2 也是中位数，四分位差为： Q.D.= Q3 － Q1 数四分位差Q.D.数值越大，说明中位数Me的代表性愈差，反之，则说明中位数Me的代表性愈好。 （二） 平均差（Ａ·Ｄ） 平均差：是总体中各单位标志值与其算术平均数之间绝对离差的算术平均数。它能综合反映总体标志值的变异程度。 【例】： 有两个生产小组，每组都是5名工人，某天日产量的件数如下： 　　甲组：50 60 70 80 90 乙组：68 69 70 71 72 则： 【例】某班统计学考试分数资料如下 　 计算平均差如下： 注： 离差——总体单位的标志值与其平均数之差即 。 平均差使用绝对值是为了避免各变量值与平均数的离差之和等于零。 平均差的特点： 平均差是根据全部变量值与平均数离差计算出来的，能全面、客观地反映标志值的离散程度。 平均差计算有绝对值符号，不适合代数方法的演算使其应用受到了限制。 （三）、标准差和方差(σ与σ２) 标准差(σ)：是总体各单位的标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，又称均方差。 方差(σ２) ：是标准差的平方。 标准差与平均差比较： 　　标准差是以离差的平方来消除正负号的影响，对离差平方求平均数得方差，然后再开方，就恢复了原来的计算单位。且加大离差，突出了标志变异的程度。标准差的计算还应用了最小平方原理，以算术平均数为中心，使标准差成为反映标志变异程度的最理想的计算方法，是实际应用最广泛的离散程度测度值。 【例】　 　有两个生产小组，每组都是5名工人，某天日产量的件数如下： 　　甲组：50 60 70 80 90 乙组：68 69 70 71 72 则： 计算标准差如下： 某班统计学考试分数资料如下 标准差的变形公式： 方差与标准差的性质： 具有“平移不变”的特性，即： 　　σx+a２= σx２　　　 σX+a= σx σbx２= b2σx２ σbx= |b|σx 　 将这两条性质结合起来，就有：变量X的线性变换的方差和标准差分别为： σ bx+a２= b2σx２ σbx+a= |b|σx 如果两个变量X和Y相互独立，它们的代数和的方差就等于原来两个变量的方差之和；它们的代数和的标准差则等于两个变量方差之和的正平方根，即有： 【例】 已知某校一年级小学语文成绩X的标准差为10分，数学成绩Y的标准差为6分，则两门功课总成绩的方差与标准差就应该是： 方差与标准差的性质： 对于同变量分布，其标准差永远不会小于平均差。即： 【例】某班组11个工人日产零件数如下： 15 17 19 20 22 22 23 23 25 26 30 如果分组如下：  验证： 16.18 ＝ 2.54 + 13.64　 标准差与全距、平均差的关系: σ与R的关系 经验表明，当分布数列接近于正态分布时，存在以下经验公式：R为4至6个σ 当标志值项数较少时，R≈4σ 当标志值项数较多时，R≈6σ σ与A·D的关系 对同一资料，所求的平均差一般比标准差要小，即A·D≤σ （四）变异系数