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极限运算法则
第四节 一、无穷大与无穷小 定理 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 无穷小的性质 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求下列无穷小的和的极限 例2. 求 定义2 . 例2 . 证明 二、 极限的四则运算法则 推论: 若 定理 3(2) .若 定理 3(3). 若 定理4:若 例3. 设有分式函数 例5 . 求 例6 . 求下列函数的极限 3 . 求 一般有如下结果： 三、 复合函数的极限运算法则 3. 复合函数的极限运算法则(证明) 例7. 求 例8 . 求 例10：求下列函数的极限 例11. 求 例12. 试确定常数 a 使 例13 内容小结 思考及练习 为无穷小 且 B≠0 , 则有 证: 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 为无穷小, Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此结论可由 定理1 , 2, 3直接得出 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. x = 3 时分母为 0 ! 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例4. 若 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 解: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例7. 求 解: 分子分母同除以 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 为非负常数 ) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理6. 设 且 x 满足 时, 又 则有 2. 若定理中 则类似可得 说明:1.公式表明，在相应条件下求复合函数的极限，可通过代换化复合函数为简单函数. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理. 设 且 x 满足 时, 又 则有 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解: 令 已知 ∴ 原式 = Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 Evaluation only. Created with Aspose.Slides
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