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微分方程的定解问题常微分方程简明教程
第三节 * 微分方程的定解问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 阶微分方程 ，若F满足一定基本条件 则其解族是联系n 个独立任意常数的函数族， 是平面上多参数的曲线族，即 反之 满足一定的光滑性条件则必存在一个 n 阶微分方程 以该函数族为自己的解族 （求解运算） （微分运算） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ？ n=1为例： ？ 函数族 视为带参数C的隐函数，并设 y=y(x) 则得 等式两端求导得 消去参数C可得 之间的关系式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1.4 已知平面上的单参数椭圆族 ，求它所满足的微分方程。 解： 把 视为y(x) 的隐函数，两边求导得 与原等式联立消去C得 即为所求微分方程。 例 已知平面上的单参数椭圆族 ，求它所满足的微分方程。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 若函数族包含两个独立参数 等式两端求一阶、二阶导数后联立得 消去参数C1，C2可得 之间的关系式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的定解问题 为了在微分方程的解族中找出所需特解，必须在微分方程之外另加条件，这种条件就称为定解条件。微分方程加上定解条件所提出的求解问题，称为微分方程的定解问题 ※定解条件个数与微分方程阶数或通解中独立任意常数的个数对应。 例1.5 求下列定解问题的解 解 易知方程的通解为 把定解条件代入后得 于是定解问题的解为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两种重要定解问题 1. 微分方程的定解条件是在某一定点x0上给出未知函数及其一阶、二阶直至n-1 阶导数的值，这种定解问题称为初值问题，或称Cauchy问题。 2. 微分方程的定解条件是在闭区间[a,b]的端点上给出未知函数及其各 阶导数的某种组合运算值，这种定解问题称为边值问题。 例1.6 求解下列边值问题 解 易知方程的通解为 于是 代入条件后得C1=2，C2=1，于是解为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定解问题的适定性 微分方程的定解问题，若存在解而且唯一，则称定解问题是适定的，否则为不适定的。 ※加上初值条件的微分方程定解问题是适定的，其它情况不一定。比如，下面的定解问题是不适定的。 例，求解下面的定解问题 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
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