7线性变换解说.ppt

解 A 的特征多项式为 所以，A 的特征值为 因 A 仅有一个特征值 -1， 线性无关的特征向量是线性方程组 (-E - A) X = 0 的基础解系. 因此，该方程组的基础解系所含向量个数等于 1 , 即 A 没有 3 个线性无关的特征向量. 所以 A 在任一组基下的矩阵不可能是对角矩阵. 该方程组系数矩阵 - E- A 的秩为 2. 所以，属于 -1 的所有 小于 3， 例 2 设线性变换 A 在基 ?1 , ?2 , ?3 下的矩阵为 问是否存在一组基，使 A 在这组基下的矩阵 为对角矩阵？ 若这样的基存在，求出这组基. 解 A 的特征多项式为 所以，A 的特征值为 当 时, 解方程组 即 解得基础解系为 当 时, 解方程组 即 得基础解系为 由于向量组 线性无关, 组基下的矩阵是对角矩阵. 令 且都是 A 的特征向量， 所以 A 在某 则 A 在基 ?1 , ?2 , ?3 下的矩阵为对角矩阵, 即 例 3 设 (1) 判断 A 是否与对角矩阵相似，若相似，求 可逆矩阵 X，使 X-1AX 为对角矩阵； (2) 求 Ak ( k 为正整数) . (1) 先求特征值，A 的特征多项式为 解 A 的特征值为 再求特征向量 当 时，解方程组 即 得对应于 的特征向量为 当 时，解方程组 即 得对应于 的特征向量为 令 则 X 可逆， 因为 3 阶矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量， 所以方阵 A 相似于对角矩阵. 且有 (2) 由 (1) 的结果 得 A = X?X-1 ， 所以 Ak = ( X?X-1 ) ( X?X-1 ) … ( X?X-1 ) = X ?k X-1 . 则矩阵 的逆矩阵为 又因为 所以 值域与核定义 §6 线性变换的值域与核 值域与核的性质 举例 A 的值域的结构 A 的秩、零度与空间维数的关系 一、线性变换值域与核定义 定义 11 设 A 是线性空间 V 的一个线性变换, A 的全体像组成的集合称为A 的值域， 示. 所有由 A 变成零向量的向量组成的集合称为 A　的核，用 A -1(0) 表示. 若用集合的记号则 A V = { A ? | ? ? V } ， A -1(0) = { ? | A ? =0 ，? ? V } . 用 A V 表 二、值域与核的性质 性质 线性变换的值域与核都是 V 的子空间. 证明 又 A ? + A ? = A (? + ? ) ， k A ? = A (k?) 可知， 首先，A V 是非空的； 又由 A ? =0 与 A ? = 0 可知 A V 对加法与数量乘法是封闭的； 因此 A V 是 V 的子空间. 因 A (0) = 0，即 0 ? A -1(0)， A -1(0) 是非空的. 即， A -1(0) 对加法与数量乘法是封闭的. 所以 A -1(0) 是 V 的子空间. 证毕 A V 的维数称为 A 的秩； 例 1 在线性空间 P[x]n 中，令 D ( f (x) ) = f ?(x) . 则 D 的值域为 P[x]n-1，D 的核为子空间 (数域) P . A (? + ? ) =0， A (k?) = 0 . A -1(0) 的维数称为A 的零度. 三、A 的值域的结构 定理 11 设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换， ?1 , ?2 , … , ?n 是 V 的一组基，在这组基下，A 的矩阵是 A，则 1) A 的值域 A V 是由基像组生成的子空间，即 A V = L (A ?1 , A ?2 , … , A ?n ) . 2) A 的秩 = A 的秩. 证明 1) 设 ? 是 V 的任一向量，可用基表示为 ? = x1?1 + x2?2 + … + xn?n . 于是 A ? = x1 A ?1 + x2 A ?2 + … + xn A ?n　　　(1) (1) 式说明， A ? ? L(A ?1 , A ?2 , … , A ?n ) , 因此 A V ? L(A ?1 , A ?2 , … , A ?n ) . (1) 式还表明基像组的线性组合仍是一个像，即 L(A ?1 , A ?2 , … , A ?n ) ? A V . A V = L(A ?1 , A ?2 , … , A ?n ) . 于是有 2) 根据 1)，A 的秩等于基像组的秩. 另一方面, 矩阵 A 由基像组的坐标按列排列成. 第六章§8 曾指出， 把 V 的每一个向量与它的坐标对应起来， V 到 P n 的同构对应. 同构对应保持向量组的一 切线性关系，因此基像组与它们的坐标组(即矩阵 A 的列向量组)有相同的秩. 证毕 即得