02.3直线、平面垂直的判定及其性质.docVIP

2.3　直线、平面垂直的判定及其性质1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线和此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面. (2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线.②垂直于同一个平面的两条直线________.③垂直于同一直线的两平面________. 2.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角. 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：一个平面过另一个平面的____________，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面. 4.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有________条. 2.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC， (1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点.(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心. 3.m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题： ①m⊥α，n∥β，α∥βm⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥αn∥β；③m⊥n，α∥β，m∥αn⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥βn⊥β. 其中，所有真命题的编号是________. 4.已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________. 5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若α∥β，mα，则m∥β；②若m∥α，nα，则m∥n；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β. 其中为真命题的是(　　) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明　(1)由四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC. 而AE平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD. 而PD平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE.探究提高　破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在. 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例2　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证： DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.证明　(1)如图所示，取EC中点F，连接DF.∵EC⊥平面ABC，BD∥CE， ∴DB⊥平面ABC.∴DB⊥AB.∵BD∥CE，BD＝CE＝FC，∴四边形FCBD是矩形，∴DF⊥EC.又BA＝BC＝DF，∴Rt△DEF≌Rt△ADB，∴DE＝DA. (2)如图所示，取AC中点N，连接MN、NB，∵M是EA的中点，∴MN綊EC. 由BD綊EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN. ∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA.又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM平面BDM， ∴平面BDM⊥平面EC