vanderpol方程式の安定性（有本）.docVIP

Van der Pol方程式の安定性（有本） 5/9 Van der Pol方程式 を考える．これを とおきなおす．を満たす点は固定点と呼ばれる．上の式から固定点はであることが容易にわかる． システム(1)のJacobianをJとすると， 固定点でのJacobian と書くと，を代入して， このとき，の固有値の実数部分の符号が負のとき，固定点は安定になる（のとき，微分方程式の解はに収束する）ことが知られている． より， いずれにせよ固有値sの実部は負であることがわかる． coupled Van der Pol方程式の安定性について[1] 2007/5/9 有本彰雄 （パラメータは十分大きい負の数） なる2つのVan der Pol方程式の右辺にyとzの差をくみこんだものを考える．各Van der Polの解がそれぞれlimit cycleをもつなら，これらのlimit cycleをロボットの2本の足それぞれの動きに対応させることで，自励ロボットを構成できるであろう． 系の安定性を議論するため，上の二階微分方程式を連立一階微分方程式系になおす． とおく．そのとき(1)は (2)の固定点は容易にわかるようにである．(2)のJacobianは であり，固定点でこれを評価したものをとおくと， である． の根の実部は負である．しかし，の2根は となり，のときは，根の1つは となる．つまり，kを大きくすれば不安定性があらわれる． coupled Van der Pol方程式の安定性について[2] 2007/5/9 有本彰雄 を考える．前項[1]との違いは2つのVan der Pol方程式でλの符号が異なることである．Yとzをロボットの脚の運動に適用する場合，システムが安定であると止まってしまう．いつまでも動かすためには，これらのシステムが不安定である必要がある．にしたとき，そのlimit cycle（Poincareの十分条件を調べことによりVan der Pol方程式はlimit cycleを持つことは知られている．でない場合にもPoincare条件を調べる必要がある）はなる3次曲線にまきつく． (1)のλの符号を変えることにより，一方の脚の動きがF(x)にまきつくとすると，他方の脚はにまきつく． つまり，ロボットは脚の左右を交互に動かしいつまでも歩かせることが出来るわけである． (1)は という形に書き直すことができる．(2)の固定点はのとき，のときである（）． (2)のJacobianは におけるJacobianは λとkを適当に選べば，sの符号は正とできるので不安定系を作ることができる．