2函数的最值.docVIP

函数最值问题的解法探讨 作者：代安 指导老师：岳素芳 摘要 求最值问题是数学永恒的话题.本文将其分为一元函数求最值和多元函数求最值.一元函数求最值的常用方法有：导数法,利用函数的单调性，换元法，数形结合法，判别式法.最常用的是导数法.求多元函数最值的常用方法有:导数法，消元法，均值不等式法，换元法，数形结合法，实二次型法.最常用的是导数法.本文将这些方法加以总结给出. 关键词 最值 导数法 数形结合 1 引言 求函数的最值是数学一个经典的话题.由于函数广泛应用于现实生活中，这样求函数的最值就具有十分重要的意义.如经济决策问题中求最优化解，最大生产能力，最大利润等等就运用到了求函数最值.所以本文就针对求函数的最值给出了一些常见的方法.分为一元函数求最值和多元函数求最值两个部分，并给出例题.一元函数以用导数法求函数最值为常见方法，但是有些问题求导十分繁琐，这就有其他的一些方法，如换元，数形结合方法等.多元函数求最值与一元函数求最值大同小异，也是运用导数来求函数最值.同样有些问题求导极其繁琐，故运用其他的一些方法如消元法，数形结合法，更加简单明了的求出函数的最值，从而达到目的. 2 一元函数求最值 2.1用函数的导数求函数最值 设函数在上连续，则在上一定存在最大值和最小值，且求最大值和最小值的步骤为： 第一步：找出在内所有可能的极值点，即驻点和一阶不可导点； 第二步：找出在上述点和两个端点与处的函数值； 第三步：将函数值进行比较，最大者即为最大值，最小者即为最小值. 函数在非闭区间上的情况较闭区间复杂，本文只举例说明半开区间和无穷区间连续函数的最值求法. 例2.1.1 讨论在上的最值. 解 在内连续， ， 令，得驻点，又在处取得极大值，并且极值点只有一个，故也是在上的最大值，由知在上无最小值. 例2.1.2 讨论 在上最值. 解 在上连续， 且 . 令，得驻点 ， ， 而 ， 故在处取最小值，在处取最大值. 2.2 用函数的单调性求函数最值 这时候我们要先判定给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值 例 2.2.1 已知函数的定义域是，对于任意的， 都有 ， 求在区间[-3,3]上的最大值和最小值. 解 令 ，则，故，令则 ，故，即是奇函数. 设，，则， 故 即所以在上是减函数. 从而所求的最小值和最大值分别为： 和 2.3用换元法求函数最值 所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量去代替原来的部分（或全部）变量或改造原来的式子，利用新元架起来未知通向已知的桥梁.换元的实质是转化，目的是化繁为简，化生为熟，使问题易于解决，其关键是构造元和设元.用换元法求最值主要有三角换元和代数换元等，用换元法时要特别注意关注中间变量的范围，较常见的是下面两种形式的换元. 1），令将函数转换为关于的二次函数，再求最值. 2）令,将其转化为的二次函数，再求最值. 例2.3.1求函数的最大值和最小值. 解 ， 令，则，， 故 ， 当时，取最大值并且， 当时，取最小值，并且. 2.4用数形结合方法求函数最值 数形结合，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题.它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面，一方面，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往可以变得非常的直观，形象；另一方面，一些图形的属性又可以通过数量关系的研究使得图形的性质更加的丰富，精确，深刻.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来.它兼有数的严谨与形的直观之长，利用它可以使得复杂的问题简单化，抽象问题具体化，是优化解题过程的重要途径之一. 主要适用于几何图形较明确的函数，通过几何模型，寻求函数的最值. 下面是应用在一元函数上. 例2.4.1 求函数的最大值和最小值. 解 将看为单位圆上的点. 与定点 (2,2)连线的斜率.如上图所示. 令，则当取最大值或最小值时，直线与 圆相切，则该问题就转化为求斜率使得直线与圆相切.如果直线直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，即，亦即，解得，故，. 2.5用判别式法求函数最值 主要适用于可化为关于自变量的二次方程的函数. 例2.5.1 求函数的最大值和最小值. 解 两边平方整理的， 这里因为是实数，故解得， 此外由于，得.于是 ， 故 . 3 多元函数求最值 3.1用函数的导数求函数最值 要求可微函数在有界闭区间的最大（小）值，除了求函数在内全部极大（小）值外，还要求出函数在的边界上的最大（小）值，将它们放在一起进行比较，其中最大（小）者就是函数在的最大（小）值，一般来说，求函数在的边界上的最大（小）值是很困难的，但是对于有些问题，如果知道它存在最大（小）值，且在内某点取到