数学金融学第七章多时段市场问题.docVIP

第七章 多时段市场问题 本章的目的是在前两章单时段市场理论的基础上讨论多时段市场的有关问题.可以想象 在多时段市场的投资中,不同时段上的投资策略是可以不同的,也就是说,投资策略是随时间变化的.因此,动态特性是多时段市场问题区别于单时段市场问题的一个标志.所以,除了单时段市场情形中所出现的问题外,讨论多时段市场问题的要点是体现其动态特性问题,读者应该记住这一点.在学习本章时,如果读者有随机过程和控制理论的初步知识,则会感到轻松一些. §7.1 多时段市场的一般描述 在这一节中,我们首先给出多时段市场一般的数学描述. 一、测度论中一些基本概念及相关定理 定义1.0 设有限个离散时刻,设为一个有限 集合(样本空间), 为的子 集全体,为上的一个概率测度.又设为的子集族,且 , (1.1) 若对每个子集族.满足下述条件: (1.2) 当(l.2)成立时,称为一个域,称(1.1)为一个域流.集合中的每个元素表示时刻可能发生的一个事件.比如作为事件在时刻发生,它表示在时刻状态之一发生,因此, 称为时刻的事件集. 现在,我们来略微仔细地看一下域流(1.1)的一些性质和意义. 定义1.0.1 对每个,存在的一个剖分,即 (1.3) 使得 , (1.4) 我们称上面的为的生成元,称每个为中的基本事件,于是,称为的生成元集或基本事件集. 注1.0.2: 当为一个有限集合时,对每一个均存在的一个剖分,该剖分包含在内且满足(1.4).▲ (1.3)表明在任何时刻有且仅有一个中的基本事件发生.从这个角度看,我们可以得知 上述基本事件集是由惟一确定的.进一步,由(1.1)和(1.4),我们还可得 (1.5) 上面(1.5)表明的生成元集是生成元集的加细,即中的每个元素均是一些中元素的并集.为了理解它们的意义,我们举一个例子. 考虑三个时刻: 0,1,2,它们分别表示某个证券交易所某日的开盘时刻,前市收盘时刻(或中午)和当日全天收盘时刻，而时间区间[0,1]和[1,2]分别代表前市(上午)和后市(下午). 设样本空间,其中状态具有下述意义: (l.6) 它们可以看作是时刻2 的基本事件.记 (1.7) 则构成一个域流.易见,事件就是该股票价格在[0,1]上涨1元;而事件就是该股票价格在[0, 1]下跌1元,它们是时刻1的基本事件.相应于(1.7)中的生成 元集如下: (1.8) 可见,1 时刻的基本事件 (即不该股票价格在[0,1]上涨1元)是2时刻两个基本事件和的并集.需要指出的是在任何时刻实际发生的事件必定是某个基本事件. 对上面的例子,我们作如下考察.在时刻t=0来预测时刻t=2的状态,共有4 种可能:.到了时刻t =1,假如事件已发生,则此时再预测时刻t=2的状态,只有两种可能了.所以,随着时间的推移,判断最终时刻事件发生的“确定性”增加了. 我们让表示在时刻i人们能够获得的所有信息的全体。这个意思是人们可以在当前(时刻t =0)预测的所有在时刻t =i可能发生的基本事件.所以, 中包含了一系列互不相容的基本事件,其概率是已知的.关系式(1.1)恰好表明随时间推移,人们可获得的信息越来越多. 现在我们给定概率空间,并且给定一列时刻0,1,2,…和一个域流,每个对应于时刻i的事件集,此时.我们称为一个带域流的概率空间.下面的讨论都基于这个框架,不再重复说明.并且,为了方便起见,我们假定每个的生成元集为,并且,(假如不然,我们可以去掉使得的 所有的结果将保持不变). 考虑一种债券.其价格是随着时间t 变化的,并且由于人们无法确定将来的利率,从而债券 价格一般而言还是随机的,这样,债券价格是的函数.当对每个固定的是一个随机变量时,我们称为一个随机过程.为了叙述方便起见,我们设 ,