片段之十三：从一道自编题来探究圆锥曲线的定值与定点问题.docVIP

从一道自编题来探究圆锥曲线的定值与定点问题 题目（自编）： 若，为椭圆的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，证明：及均为定值． 证明如下：令，易得直线，的方程分别为， ．将两式分别与直线联立解得， 由此得到=，将上述，的坐标代入斜率公式易得=-． 从上述证明过程可以看出本题并不困难，但仔细推敲会发现：直线其实就是准线，如果不是准线，会有规律吗？我们从近十年来，特别是新课改以来全国各地的高考（模拟）试题频繁出现证明定值、定点的问题，而且往往是压轴题，在高考的紧张气氛加上时间仓促的情况下几乎让考生束手无策．本专题试图探究与圆锥曲线有关的定值、定点问题． 一、一题多变的教学价值 从上述自编题目的前半部分出发经研究得到： 结论1：，为椭圆（）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有． 证明如下：如图所示，令（），容易得到直线，的方程分别为 ，． 将上述两式分别与直线联立解得 ， ==． 由结论1就容易得到： 结论2：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 证明如下：如图所示，由结论1的推理过程易得 =（，），（，） =+ = =． 结论3：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论4：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论5：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论6：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论7：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论8：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 事实上，上述所有的结论完全可以类比到双曲线： 结论9： ，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有． 证明如下：如图所示，令，容易得到直线，的方程分别为 ，． 将上述两式分别与直线联立解得 ， ==． 由结论9就容易得到： 结论10：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 证明如下：如图所示，由结论9的推理过程易得 =（，），（，） =+ = =． 结论11：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论12：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论13：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论14：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论15：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 结论16：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 从上述自编题目的后半部分出发经研究得到： 结论17：，为椭圆（）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有 ==． 证明如下：令，如图所示，==，==，则有 == ====． 结论18：，为椭圆（）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有 ==． 结论19：，为椭圆（）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有 =． 结论20：，为椭圆（）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有 =． 结论21：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 证明如下：如图所示，由结论1的推理过程易得 =， = = ==． 结论22：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=． 上述结论到结论22中，，均为椭圆（双曲线）长轴顶点（顶点），即是椭圆（双曲线）最长（最