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第三章 微分方程方法 §3.1微分方程的一般理论 微分方程是研究函数变化规律的有力工具, 有着广泛的实际应用. 针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步, 实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明. 一般说来, 求微分方程的解析解是困难的, 大多数的微分方程需要用数值方法来求解, 因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题. 3.1.1 微分方程的一般形式 一阶微分方程 （3.1） 其中是和的已知函数, 为初始条件, 又称定解条件. 一阶微分方程组 （3.2） 又称为一阶正规方程组. 如果引入向量 则方程组（3.2）可以写为简单的形式 （3.3） 即与方程（3.1）的形式相同, 当时为方程（3.1）. 对于任一高阶的微分方程 如果记, 则方程为, 即可化为一阶方程组的形式. 因此, 下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论. 3.1.2 微分方程解的存在惟一性 正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在, 且惟一呢？有下面的定理. 定理3.1（Cauchy-Peano）如果函数在上连续, 则方程组（3.3）在上有解满足初值条件, 此处. 定理3.2 如果函数在上连续, 且满足利普希茨（Lipschitz）条件（即存在正常数使得, 其中）, 则方程组（3.3）满足初值条件的解是惟一的. 定理证明略. 3.1.3 微分方程的稳定性问题 在实际问题中, 微分方程所描述的是物质系统的运动规律, 在用微分方程来研究这个物理过程中, 人们只能考虑影响该过程的主要因素, 而不得不忽略一些认为次要的因素, 这种次要的因素通常称为干扰因素. 这些干扰因素在实际中可以瞬时起作用, 也可持续起作用. 从数学上看, 前者会引起初值条件的变化, 而后者则会引起微分方程本身的变化. 在实际问题中, 干扰因素是客观存在的, 由此可见, 对于它的影响程度的研究是必要的, 即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题. 这里仍以方程组（3.3）为例讨论. 1. 有限区间的稳定性 如果在某个有限的区域内连续, 且对满足利普希茨条件, 是方程组（3.3）的一个特解, 则当充分接近于时, 方程组（3.3）在上满足初值条件的解有 , 即对任意给定的, 总存在相应的, 当时, 对一切有 , 此时称方程组（3.3）的解在有限区间上是稳定的. 2. 无限区间的稳定性 如果是方程组（3.3）的一个特解, 是方程组（3.3）满足初值条件的解. 对任意给定的, 总存在相应的, 当时, 对一切有 , 则称方程组（3.3）的解在无限区间上是稳定的. 3. 渐近稳定性 如果方程组（3.3）解在无限区间上是稳定的, 且存在, 当时, 有 , 则称是渐近稳定的, 或称为局部渐近稳定的. 4. 经常扰动下的稳定性 对于方程组（3.3）, 考虑相应的方程组 , （3.4） 这里的称为扰动函数. 如果对任意给定的, 总存在和, 使当时有 , 则方程组（3.4）有满足初值条件的解, 且当时有 就说方程组（3.3）的特解在经常扰动下是稳定的. 5. 研究稳定性的方法 实际中, 要研究方程组（3.3）的解的稳定性问题, 可以转化为研究方程的零解（平凡解）的稳定性问题. 事实上: 对于方程（3.3）的任一特解, 只要令, 则 显然有, 故方程组（3.3）变为 （3.5） 于是可知方程组（3.3）的解对应于方程组（3.5）为（平凡解）. 因此, 要研究方程组（3.3）的稳定性问题可转化为研究方程组（3.5）的平凡解的稳定性问题. 如果微分方程组的所有解都能简单地求出来, 一个特解的稳定性问题并不难解决. 然而, 实际中这种情况太少了. 因此, 一般性的稳定性问题的研究是复杂的, 通常的情况下都是针对具体问题做相应的研究. §3.2微分方程的平衡点及稳定性 3.2.1 微分方程的平衡点 设有微分方程组（3.3）, 对于, , 在某个区域内连续, 且满足解的存在惟一性条件. 如果存在某个常数, 使得, 则称点为方程组（3.3）的平衡点（或奇点）, 且称为方程组的平凡解（或奇解）. 如果对所有可能初