(第一章误差.docVIP

数 值 计 算 方 法 郑继明 刘 平 张清华 编 重庆邮电学院计算机学院 2003年3月 前 言 在科学研究和工程设计中经常需要做大量的数值计算。现在，数值分析方法与计算机技术相结合已深人到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域，计算机上使用的数值计算方法已浩如烟海．本书是以理工科本科生为主要对象编写的，目的是使读者获得数值分析方法的基本概念，掌握适用于电子计算机的常用算法，具有基本的理论分析和实际计算能力． 本书只限于介绍科学计算中最基本的数值分析方法．主要内容有：线性代数方程组的数值解法，非线性方程和方程组的迭代解法，矩阵特征值和特征向量的计算，函数的插值与逼近，数值积分，常微分方程和偏微分方程的数值解法． 在学习数值分析时，我们要注意掌握数值方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论．此外，还要通过应用数值方法编程计算例子来提高使用各种数值方法解决实际问题的能力． 编 者 2003年3月 目 录 第一章 数值计算中的误差 第1节 引言 第2节 误差的种类及其来源 2.l 模型误差 2.2 观测误差 2.3截断误差 2.4 舍入误差 第3节 绝对误差和相对误差 3.1 绝对误差和绝对误差限 3.2 相对误差和相对误差限 第4节 有效数字及其与误差的关系 4.1 有效数字 4.2 有效数字与误差的关系 第5节 误差的传播与估计 5.l 误差估计的一般公式 5.2 误差在算术运算中的传播 5.3 对第1节算例的误差分析 第6节 算法的数值稳定性 习题— 第二章 插值法 第1节 引言 1.l 插值问题的提法 1.2 插值多项式的存在唯一性 第2节 拉格朗日插值多项式 2.l 插值基函数 2.2 拉格朗日插值多项式 2.3插值余项 2.4 插值误差的事后估计法 第3节 牛顿插值多项式 3.1 向前差分与牛顿向前插值公式 3.2 向后差分与牛顿向后插值公式 3.3 差商与牛顿基本插值多项式 分段低次插值 第5节 三次样条插值 5.1 三次样条插值函数的定义 5.2 边界条件问题的提出与类型 5.3 三次样条插值函数的求法 第6节 数值微分 6.l 用插值多项式求导数的原理与常用公式 6.2 利用三次样条插值函数求导数的原理与公式 习题二 第三章 曲线拟合的最小二乘法 引言 第2节 什么是最小二乘法 最小二乘解的求法 第4节 加权最小二乘法 第5节 利用正交函数作最小二M乘拟合 5.1 利用正交函数作最小二乘拟合的原理 5.2 利用正交多项式作多项式拟合 习题三 第四章 特征值与特征向量 习题四 第五章 数值积分 引言 1.1 讨论数值求积的必要性 1.2 构造数值求积公式的基本方法 1.3 求积公式的余项 1.4 求积公式的代数精度 牛顿一柯特斯公式 2.1牛顿一柯特斯公式 2.2 复合牛顿一柯特斯公式 2.3 误差的事后估计与步长的自动选择 2.4 复合梯形法的递推算式 第3节 龙贝格算法 3.1 龙贝格算法的基本原理 3.2 龙贝格算法计算公式的简化 第4节 高斯型求积公式 4.l 高斯型求积公式的定义 4.2 高斯型求积公式的构造与应用 习题五 第六章 非线性方程的数值解法 二分法 第2节 迭代法 第3节 牛顿法 3.l 牛顿法公式及误差分析 3.2 牛顿法的局部收效性 第4节 弦割法 第5节 解非线性方程组的迭代法 5.1 解非线性方程组的迭代法 5.2 解非线性方程组的牛顿法 习题六 第七章 解方程组的数值方法 引言 第2节 高斯消去法 第3节 选主元素的高斯消去法 3.l 完全主元素消去法 3.2 列主元素消去法 第4节 矩阵的三角分解 第5节 解三对角线方程组的追赶法 第6节解对称正定矩阵方程组的平方根法 第7节 向量和矩阵的范数 第8节 解线性方程组的迭代法 8.1 雅可比迭代法 8.2 高斯一塞德尔迭代法 8.3 解线性方程组的超松弛迭代法 8.4 迭代法的收敛性 第9节 病态方程组和迭代改善法 习题七 第八章 常微分方程的数值解法 第1节 引言 第2节 欧拉方法 2.1 欧拉格式 2.2 改进的欧拉格式 龙格一 库塔方法 3.1 龙格一 库塔公式的导出 3. 2 高阶龙格一库塔格式 3.3 步长的自动选