{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.3.2等比数列的前n项和（二）Word版含解析(经典).docxVIP

3.2　等比数列的前n项和(二) 明目标、知重点　1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题．1．等比数列的前n项和的变式(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝＝＝＝－；当q＝1时，Sn＝na1.(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．2．等比数列前n项和的性质(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q.[情境导学]上一节我们学习了等比数列的前n项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？这是我们本节研究的主要内容．探究点一　等比数列前n项和Sn的函数特征思考1　设等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q＝1时，Sn对应怎样的函数？其函数图像又如何？答　当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn与n成正比．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数y＝a1x图像上一些孤立的点．思考2　设等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn对应怎样的函数？其函数图像又如何？答　当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝(1－qn)＝(qn－1)．设A＝，则上式可以写为Sn＝A(qn－1)．由此可见，q≠1时，由等比数列前n项和Sn构成的点列(1，S1)，(2，S2)，(3，S3)，…，(n，Sn)位于函数y＝A(qx－1)的图像上．思考3　数列{an}的前n项和Sn构成了一个新的数列：S1，S2，S3，…，Sn，….你能完成这个新数列的递推关系吗？答　S1＝a1，当n1时，Sn＝Sn－1＋an.小结　思考3中的递推关系，变式可得an＝就是前面学过的已知Sn求通项an.例1　设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N＋)，则f(n)等于(　)A.(8n－1) B.(8n＋1－1)C.(8n＋2－1) D.(8n＋3－1)答案　B解析　f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝＝(8n＋1－1)．反思与感悟　数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法．跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.答案　－解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.探究点二　等比数列前n项和的性质思考1　等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，Sm＋n与Sm及Sn有怎样的关系？为什么？答　Sm＋n＝Sm＋qmSn.证明如下：左边＝Sm＋n＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋am＋n)＝Sm＋(a1qm＋a2qm＋…＋anqm)＝Sm＋(a1＋a2＋…＋an)qm＝Sm＋qmSn＝右边，∴Sm＋n＝Sm＋qmSn.思考2　在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．怎样证明这个关系？答　∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．例2　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn＝(1－qn)，S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．方法二　根据等比数列性质，有S2n