{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.3.1等比数列（一）Word版含解析(经典).docxVIP

3．1　等比数列(一) 明目标、知重点　1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比数列的通项公式理解其推导过程.3.掌握等比中项的概念并会应用．1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．2．等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a≠0，q≠0)．3．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．[情境导学]在前面我们学习了等差数列，其特点是从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，在生活中也常见从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数的数列，本节我们就来研究这类数列．探究点一　等比数列的概念思考1　阅读教材21页列举的2个实例，观察实例中得出的两个数列有什么共同特点？答　它们的特点：从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数．思考2　思考1中的两个数列都是等比数列，你能结合等差数列的定义，给等比数列下一个准确定义吗？答　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．思考3　我们在使用等比数列定义时，往往需要符号化、等式化．如何用符号语言简捷地表示它？答　＝q(n1，q≠0)．例1　下列所给数列中，哪些是等比数列？(1)1，－，，－，；(2)1,1,1，…，1；(3)1,2,4,8,12,16,20；(4)a，a2，a3，…，an.解　(1)是等比数列，公比q＝－.(2)是公比为1的等比数列．(3)因为≠，所以该数列不是等比数列．(4)当a≠0时，这个数列是公比为a的等比数列；当a＝0时，它不是等比数列．反思与感悟　判断一个数列是否为等比数列的最常用方法是利用等比数列的定义，即＝q(q是一个与n无关的常数)．跟踪训练1　判断下列数列是否为等比数列．(1)1，－1,1，－1，…，(－1)n＋1，…；(2)－4，－2,0,1，，…；(3)a，a，a，…；(4)2,4,6,8,10，….解　(1)是等比数列，因为从第2项起，每一项与前一项的比均为－1；(2)不是等比数列，因为含有零项的数列一定不是等比数列；(3)当a＝0时，不是等比数列，当a≠0时，是首项为a，公比为1的等比数列；(4)因为4÷2≠6÷4，所以不是等比数列．探究点二　等比数列的通项公式思考1　如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列{an}的通项公式吗？答　根据等比数列的定义知：a1＝a1q0，a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，一般地，有an＝a1qn－1.思考2　除了利用归纳法，你还有其他的方法推导等比数列的通项公式吗？答　根据等比数列的定义得：＝q，＝q，＝q，…，＝q(n＞1)．将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1.当n＝1时，上面的等式也成立．∴an＝a1qn－1(n∈N＋)．小结　(1)等比数列的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N＋)，不要把公式错误地写成an＝a1qn；(2)对于公比q，要强调它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒；(3)公比q是任意非零常数，可正可负；(4)首项和公比均不为0.例2　一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12.求它的第8项的值．解　设等比数列的首项为a1，公比为q，则由已知，得将①式代入②式，得q2＋q－6＝0.解得q＝－3或q＝2.当q＝－3时，a8＝a1q7＝2×(－3)7＝－4 374，当q＝2时，a8＝2q7＝2×27＝28＝256.故数列的第8项是－4 374或256.反思与感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．跟踪训练2　在等比数列{an}中，(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.解　(1)由等比数列的通项公式，得a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么，解得.所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.探究点三　等比中项思考1　请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念．答　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．思考2　下表是等差中项与等比中项概念的对比，请填充完整.对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等