{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.3.1等比数列（二）Word版含解析(经典).docxVIP

3.1　等比数列(二)明目标、知重点　1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．1．等比数列的第二通项公式等比数列的通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)，推广形式：an＝am·qn－m(n，m∈N＋，q≠0)．2．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al；(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a；(3)若m，n，p成等差数列，则有am，an，ap成等比数列；(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….[情境导学]在等差数列{an}中，通项公式可推广为am＝an＋(m－n)d，并且若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？这就是本节研究的主要内容．探究点一　等比数列的构造与证明思考1　判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？答　(1)定义法：＝q(常数)；(2)等比中项法：a＝anan＋2(an≠0，n∈N＋)；(3)通项法：an＝a1qn－1(a1q≠0，n∈N＋)．思考2　如何判断或证明一个数列不是等比数列？答　如果判断或证明一个数列不是等比数列，只要找到一组连续的三项不成等比数列即可，即存在，＋1，＋2，且＋1≠·.例1　在各项为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝.(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项；(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解　(1)因为2an＝3an＋1，且an≠0，所以＝.故数列{an}是公比q＝的等比数列．又a2·a5＝，则a1q·a1q4＝，即a()5＝()3.由于数列各项均为负数，则a1＝－，所以an＝－×()n－1＝－()n－2.(2)设an＝－，由等比数列的通项公式得，－＝－()n－2，即()4＝()n－2.根据指数函数的性质，有4＝n－2，即n＝6.因此，－是这个等比数列的第6项．反思与感悟　尽管证明或判断等比数列的方法有三种，但利用等比数列的定义＝q(q≠0)是判定一个数列是等比数列的基本方法．而要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a≠a1a3.跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1 (n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)证明　∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．(2)解　由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.探究点二　等比数列的性质思考1　在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？答　在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．思考2　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n2)是否成立？答　∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，a＝a1a9成立．同理a＝a3a7成立．由an＝a1qn－1，an－2＝a1qn－3，an＋2＝a1qn＋1，∴an－2·an＋2＝a1qn－3·a1qn＋1＝aq2n－2＝(a1qn－1)2＝a，a＝an－2an＋2(n2)成立．思考3　由思考2你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？答　一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N＋)．证明：∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，∴am·an＝a·qm＋n－2，同理，as·at＝aqs＋t－2，∵m＋n＝s＋t，∴am·an＝as·at.思考4　在等比数