{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.2.2等差数列的前n项和（二）Word版含解析(经典).docxVIP

2．2　等差数列的前n项和(二) 明目标、知重点　1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.1．数列中an与Sn的关系对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝2．由数列前n项和Sn判断数列的类型由于等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n.令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn，所以Sn是关于n的常数项为0的二次函数．反过来，对任意数列{an}，如果Sn是关于n的常数项为0的二次函数，那么这个数列也是等差数列．3．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10，d0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．[情境导学]如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？这就是本节我们探究的主要问题．探究点一　已知数列{an}的前n项和Sn求an思考1　已知数列的通项公式an能求出Sn；反过来，已知数列{an}的前n项和Sn，如何求an?答　对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N＋)来表示．思考2　在数列{an}中，已知Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)如何求an？判断这个数列一定是等差数列吗？答　当n＝1时，a1＝S1＝a＋b＋c；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an2＋bn＋c)－[a(n－1)2＋b(n－1)＋c]＝2an－a＋b.∴an＝.只有当c＝0时，a1＝a＋b＋c才满足an＝2an－a＋b，数列{an}才是等差数列．例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n1)，可知，当n1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－，①当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.由此可见：数列{an}是以为首项，公差为2的等差数列．反思与感悟　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.解　当n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.当n＝1时代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.∴an＝.探究点二　等差数列前n项和的最值思考1　将等差数列前n项和Sn＝na1＋d变形为Sn关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答　由于Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n，所以当d≠0时，Sn为关于n的二次函数，且常数项为0.思考2　类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？答　由二次函数的性质可以得出：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．小结　(1)若a10，d0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．(2)若a10，d0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值；特别地，若a10，d0，则S1是{Sn}的最小值；若a10，d0，则S1是{Sn}的最大值．例2　已知等差数列5,4，3，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．解　方法一　由题意知，等差数列5,4，3，…的公差为－，所以Sn＝5n＋(－)＝－(n－)2＋.于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．方法二　an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×＝－n＋.an＝－n＋≤0，解得n≥8，即a8＝0，a90.所以和从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大．反思与感悟　在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于