{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.2.1等差数列（一）Word版含解析(经典).docxVIP

2．1　等差数列(一) 明目标、知重点　1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an＝a1，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an＝dn＋(a1－d)，an是关于n的一次函数，点(n，an)分布在一条以d为斜率的直线上，是这条直线上的一群孤立的点．3．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．4．等差数列的单调性等差数列的公差d0时，数列为递增数列；d0时，数列为递减数列；d＝0时，数列为常数列．[情境导学]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问题．探究点一　等差数列的概念思考1　下面我们来看这样的一些数列：(1)0,5,10,15,20，….(2)48,53,58,63.(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.(4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360.以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论．答　共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．思考2　具有思考1中这些数列特点的数列，我们把它叫做等差数列，那么，如何给等差数列下个定义？答　如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．思考3　如何用数学语言来描述等差数列的定义？答　数学语言：an－an－1＝d(n≥2)或an＋1－an＝d(n≥1)．思考4　思考1中的四个等差数列的公差分别是什么？答　公差分别是5,5，－2.5,72.小结　对于一个数列，当an－an－1＝d(n≥2)中的d为常数时，该数列为等差数列，否则不是等差数列．当d0时，anan－1，该数列为递增数列；当d＝0时，an＝an－1，该数列为常数列；当d0时，anan－1，该数列为递减数列．例1　判断下列数列是否为等差数列．(1)an＝2n－1；(2)an＝(－1)n.解　(1)由通项an＝(－1)n，可知该数列为1,3,5,7，…由an＝2n－1，n∈N＋，知an＋1＝2(n＋1)－1，于是an＋1－an＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2.由n的任意性知，这个数列是等差数列．(2)由通项an＝(－1)n，可知该数列为－1,1，－1,1，…于是a2－a1＝1－(－1)＝2，a3－a2＝－1－1＝－2.由于a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列．反思与感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数．跟踪训练1　数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　)A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列答案　A解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差为2的等差数列．探究点二　等差数列的通项思考1　已知等差数列{an}，a1＝1，d＝，如何根据前几项猜想出该数列的的通项公式？答　根据等差数列的定义，这个数列的前4项为a1＝1，a2＝a1＋＝1＋，a3＝a2＋＝(1＋)＋＝1＋2，a4＝a3＋＝(1＋2)＋＝1＋3，由以上的规律可猜想该数列的通项公式为an＝1＋(n－1).小结　若首项是a1，公差为d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.思考2　已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，其中p、q为常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是，求其首项与公差．答　取数列{an}的任意相邻两项an和an－1(n≥2)，则an－an－1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.∵p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p.例2　(1)求等差数列9,5,1，…的第10项；(2)已知等差数列{an}，an＝4n－3，求首项a1和公差d.解　(1)由a1＝9，d＝5－9＝－4，得an＝9＋(n－1)(－4)＝13－4n.当n＝10时，a10＝13－4×10＝－27.(2)由an＝4n－3知，a1＝4×1－3＝1，d＝a2－a1＝(4×2－3)－1＝