{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.2.1等差数列（二）Word版含解析(经典).docxVIP

2.1　等差数列(二)明目标、知重点　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．1．等差数列的图像等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d, am, an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋(n－m)d.(2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.3．等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)(3){an}的公差为d，则d0?{an}为递增数列；d0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．[情境导学]在等差数列{an}中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式an＝a1＋(n－1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？本节我们继续探讨．探究点一　等差数列通项公式的推广思考1　等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是由等差数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？答　(1)叠加法：由等差数列的定义知：an－an－1＝d(n≥2)，(n－1)个将以上(n－1)个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.(2)迭代法：{an}是等差数列，则：an＝an－1＋d＝an－2＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d.所以an＝a1＋(n－1)d.思考2　已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?答　设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d，变形得a1＝am－(m－1)d，则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.思考3　对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与ap＋aq之间有怎样的关系？为什么？答　am＋an＝ap＋aq.因为am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(n＋m－2)d，而ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，又因m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq.小结　(1)等差数列的第二通项公式：an＝am＋(n－m)d；(2)对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq.例1　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解　因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.反思与感悟　利用等差数列的第二通项公式及等差数列的性质，不难得出等差数列另外一些性质：(1){an}为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和．(2)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列．(3)若数列{an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}，{kan＋bn}(k为非零常数)也为等差数列．跟踪训练1　已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝______.答案　解析　由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.则＋＝2，∴d＝，∴这4个根依次为，，，，∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝，∴|m－n|＝.探究点二　等差数列性质的应用例2　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n