{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：1.2.2等差数列的前n项和（一）Word版含解析(经典).docxVIP

2.2　等差数列的前n项和(一) 明目标、知重点　1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．1．数列的前n项和设Sn为数列{an}的前n项和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1.2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式Sn＝Sn＝na1＋d3.等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.[情境导学]“数学王子”高斯是德国数学家．在高斯10岁时，老师出的一道数学题为1到100的所有整数的和为多少？很快高斯便得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来研究它．探究点一　等差数列前n项和公式思考1　高斯是用怎样的方法快速求出1＋2＋3＋…＋100＝？答　高斯的算法是S100＝1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100＝100＋99＋98＋97＋…＋3＋2＋1，这两个等式上、下对应项的和均为101，所以2S100＝101×100＝10 100，即S100＝5 050.思考2　人们从“高斯的算法”受到启示，创造了“倒序相加法”，即设S＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋…＋2＋1.两式相加有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S＝50×101＝5 050.你能利用此种方法求1＋2＋3＋…＋n等于多少吗？答　设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝.思考3　如何用“倒序相加法”求首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn呢？答　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]．两式相加，得2Sn＝(a1＋an)×n，由此可得等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝.根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，代入上式可得Sn＝na1＋d.小结　(1)我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.(2)等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.例1　在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？解　(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a9＝a1＋(9－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)．答　第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟　建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．易错方面：把前n项和与最后一项混淆，忘记答或写单位．跟踪训练1　在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗．一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10 m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？解　植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列：0,20,40,60，…，380，这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和S＝×20＝3 800(m)．答　植树工人共走了3 800 m的路程．例2　九江抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到