{高考必备]高一数学人教A版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系Word版含答案(经典).docxVIP

1．2.2　同角三角函数的基本关系明目标、知重点　1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝.[情境导学]　大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风．这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化．两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系．那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题．探究点一　同角三角函数的基本关系式思考1　写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？sinαcosαtanαsin2α＋cos2α30°145°11160°1150°－－1－联系：sin230°＋cos230°＝1，sin245°＋cos245°＝1，sin260°＋cos260°＝1，sin2150°＋cos2150°＝1；＝tan30°，＝tan45°，＝tan60°，＝tan150°.同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.思考2　如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答　设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝0，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.于是sin2α＋cos2α＝()2＋()2＝＝1，＝＝＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而＝tanα并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋，k∈Z.思考3　对于平方关系sin2α＋cos2α＝1可作哪些变形？对于商数关系＝tanα可作哪些变形？答　sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，sinα＝cosα·tanα，cosα＝.探究点二　三角函数式的求值思考　已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解．例如：已知sinα＝，且α是第二象限角，则cosα＝－，tanα＝－.类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解．例如：已知tanθ＝－，求sinθ，cosθ.答　∵＝tanθ＝－.∴sinθ＝－cosθ.由∴4cos2θ＝1，cos2θ＝.当θ为第二象限角时，cosθ＝－，sinθ＝；当θ为第四象限角时，cosθ＝，sinθ＝－.类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论．例如：已知cosα＝m，且|m|1，求sinα，tanα.答　∵cosα＝m，且|m|1，∴sinα＝±＝±.当α在第一、二象限时，sinα＝，tanα＝；当α在第三、四象限时，sinα＝－，tanα＝－；当α终边在y轴上时，sinα＝±1，tanα不存在．例1　已知sinα＝－，求cosα，tanα的值．解　因为sinα0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝.如果α是第三象限角，那么cosα0.于是cosα＝－＝－从而tanα＝＝×＝.如果α是第四象限角，那么cosα＝，tanα＝－.反思与感悟　同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．跟踪训练1　已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解　由tanα＝＝，得sinα＝cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，∴cosα＝－，sinα＝cosα＝－.探