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机密★启用前 2013届全国硕士研究生入学统一考试 （启航考研公共课标准课程基础阶段测试卷答案） 高数上 答题注意事项 1．本试卷考试时间90分钟，满分100分。 2．试卷后面附有参考答案，供学员测试后核对。一、(本题满分5分) 【答案】A． 【解析】由已知易得＞0,＞0．因为 所以 故 所以，数列{}单调递增, 数列{}单调递减．又 所以，数列{},数列{}都有界,根据“单调有界数列必收敛”准则,知与都存在,故排除选项C和D． 下面讨论两个数列是否收敛于同一值． 设,,由,有,即,解得＝,故选A． 二、(本题满分5分) 【答案】B． 【解析】当0＜≤3时, 当＞3时, 所以 显然在(0,＋∞)内连续,故选B． 三、(本题满分5分) 【答案】D． 【解析】因为,且,所以 从而函数在＝0处连续,排除选项A． 从而到＝30,故选D． 四、(本题满分5分) 【答案】C． 【解析】由定积分的几何意义可知,分别表示的是曲线,, 与直线及轴所围成图形的面积,故有 ,即． 五、(本题满分5分) 【答案】＋2－1＝0． 【解析】等式两端同时对求导,有 将＝0,＝1代入上式,得,故所求切线方程为 －1＝－2(－0),即＋2－1＝0． 六、（本题满分5分） 【答案】． 【解析】令,则, 令,得 ,所以 七、(本题满分15分) 已知函数,求函数的：(1)增减区间与极值；(2)凹凸区间与拐点． 【解析】(1)所给函数的定义域为,且 , 的零点为,的零点为而是函数的间断点．由把定义域分成四部分,在各部分及的符号如下表所示． (－2,2) 2 (2,4) 4 ＋ 0 － － － － 0 + 极大 拐点 在(－2,2)内单调增加,在内单调减少；因此,在处取得极大值． (2)由上表可知,函数图形的凹区间为,凸区间为；所以(4,2)为拐点． 八、(本题满分15分) 设函数,在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且．若,证明：存在,,使得 【证明】 令,则由题设可知,在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,于是存在,使得 ． ① 又令,则,在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,于是存在,使得 ． ② 由①②可得 即 结论得证． 九、(本题满分15分) 已知，计算 【解析】 由于，所以，，从而 十、(本题满分15分) 设是曲线与轴围成的平面图形，直线把分成两部分，如图1－3－13所示．若的面积与的面积之比. 求：平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积． 【解析】 由方程组 得直线与曲线的交点为和，其中，于是 又 由题设可得 于是，从而得． 所以，绕轴旋转一周所得旋转体的体积