经济数学微积分(“十二五”规划教材)5.1定积分的概念与性质-习题讲解.docVIP

1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴（）； 【解】第一步：分割 在区间中插入个等分点：，（），将区间分为个等长的小区间，（），每个小区间的长度均为， 取每个小区间的右端点，（）， 第二步：求和 对于函数，构造和式 第三步：取极限 令求极限 ， 即得 。 ⑵。 【解】第一步：分割 在区间中插入个等分点：，（），将区间分为个等长的小区间，（），每个小区间的长度均为， 取每个小区间的右端点，（）， 第二步：求和 对于函数，构造和式 由于数列为等比数列，其首项为，公比为，可知其前项和为，于是 第三步：取极限 令求极限 ， 即得 。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⑴； 【证明】定积分的几何意义是由直线，及轴围成的三角形的面积， 如图可见 即知，。证毕。 ⑵； 【证明】定积分的几何意义是由圆弧与轴及轴所围成的四分之一圆形的面积， 如图可见 。证毕。 ⑶； 【证明】定积分的几何意义是由正弦曲线在上的一段与轴所围成的图形的面积， 如图可见 图形由两块全等图形组成，， 其中位于轴下方，位于轴上方，显见， 从而，证毕。 ⑷。 【证明】定积分的几何意义是由余弦曲线在上的一段与轴所围成的图形的面积，如左图所示，为, 而定积分的几何意义是由余弦曲线在上的一段与轴所围成的图形的面积，如右图所示，为, 由于曲线关于轴对称，可知，亦即， 即知。证毕。 3．已知，试用矩形法公式（5.3），求出的近似值（取，计算时取4位小数）。 【解】矩形法公式（5.3）为，其中（），而（）为区间的个等分点。 于是，在区间插入个等分点，（）， 对于，求出，（）， 于是，当时， 。 4．证明定积分性质： ⑴； 【证明】在区间中插入个等分点：，（），每个小区间的长度均为， 对于函数，有： ---- ---- 定积分的定义 ---- ---- 加法结合律 ---- 极限运算法则 ---- 定积分的定义 ⑵。 【证明】在区间中插入个等分点：，（），每个小区间的长度均为， 对于函数，构造和式 ， 即由定积分定义得 。 再由上⑴的结论，即得。 综上得：，证毕。 5．估计下列积分的值： ⑴； 【解】函数在区间上，有恒成立， 知在区间上单调减少， 于是有，亦即， 从而得 ，亦即。 ⑵； 【解】函数， 由得，而知， 从而，即知， 亦即， 从而得 ， 亦即。 ⑶； 【解】函数在区间上，有恒成立， 知在区间上单调增加， 于是有 ， 亦即 ， 整理得 从而得 ， 亦即。 ⑷。 【解】注意到， 函数在区间上，有，得唯一驻点，无不可导点， 对比，，， 知在区间上有， 于是有 ， 亦即 。 6．设及在闭区间上连续，证明： ⑴若在上，，且，则在上； 【证明】反证法：设有，使不成立， 则由题设在上，，不妨设时， 于是，由于在上连续，知在上可积， 即由曲边梯形面积定义知，， 但由于在上，，即知在和上，有， 于是由定积分性质5.1.4知，有，， 从而由已知亦即， 得到， 这与上面的相矛盾，从而假设不成立， 即使命题得证成立。 ⑵若在上，，且，则； 【证明】由定积分性质5.1.5，若在上，，则， 因此，下面只须由证明， 应用反证法，设， 则由⑴的已证命题，由在上，，且，则在上， 这与已知相矛盾，可知假设不成立，从而命题得证。 ⑶若在上，，且，则在上。 【证明】设，即由题设得， 于是，待证命题转换成为： 在上，，且，则在上， 而这是已证命题⑴，从而命题得证成立。 7．根据定积分的性质及上题的结论比较下列各组积分的大小： ⑴，； 【解】当时，对不等式两端同乘，得，亦即， 即由定积分的性质（推论5.1.1）得 。 ⑵，； 【解】令，即有， 易见当时，成立， 知函数在上单调增加， 又因， 知当时，有， 亦即当时，成立， 即由定积分的性质（推论5.1.1）得 。 ⑶，； 【解】令，即有， 由于是增函数，由得， 亦即当时，， 从而知函数在上单调增加， 而， 可知在上恒成立， 亦即当时，， 即由定积分的性质（推论5.1.1）得 。 ⑷，。 【解】由于， 而当 时，，使得， 对比即得 。 第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解 1