线性系统的运动分析讲解.ppt

【例4】试求如下系统矩阵的矩阵指数函数 解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 ?1=2 ?2=?3=-1 2. 由于矩阵A为友矩阵，故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和其逆阵P-1分别为 3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有 3.2.3 系统的零初态响应 （95) 当线性定常连续系统具有输入作用时,其状态方程为如下非齐次状态方程: x’=Ax+Bu 该状态方程在初始状态 下的解, 也就是由初始状态x(t0)和输入作用u(t)所引起的系统状态的运动轨迹。 下面用两种求解常微分方程的方法 直接求解法 拉氏变换法 将状态方程x’=Ax+Bu移项，可得 x’-Ax=Bu 将上式两边左乘以e-At，则有 e-At[x’-Ax]=e-AtBu 即 d(e-Atx)/dt=e-AtBu 在区间[t0,t]内对上式积分，则有 1. 直接求解法 即 上式便是非齐次状态方程的解。 当t0=0时，解x(t)又可记为 因此 若用状态转移矩阵来表示，上述非齐次状态方程的解又可分别记为 (P98 (3.60)) (P98 (3.59)) 2. 拉氏变换法 将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得 sX(s)-x0=AX(s)+BU(s) 即 X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)] 其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。 对上式两边取拉氏反变换，并利用卷积分公式，则有 上述求解的关键为等式右边第二项。 结果与直接求解法完全相同。 对上述状态方程的求解式利用卷积分公式，则有 【例5】已知线性定常系统为 试求系统在单位阶跃输入作用下，状态方程的解。 解 在例1中已求出状态转移矩阵?(t)为 于是，系统状态方程在阶跃输入u(t)=1(t)下的解为 3.3 线性时变连续系统的运动分析 (P110) 严格说来，实际控制对象都是时变系统，其系统结构或参数随时间变化。 如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化；电子器件的老化使其特性也发生变化; 火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。 但是，由于时变系统的数学模型较复杂，且不易于系统分析、优化和控制，因此只要实际工程允许，都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。 但对控制目标要求较高的高精度控制系统，需作为时变系统处理。 3.4 连续时间线性系统的时间离散化 基本约定： （1）对采样方式的约定 采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度△比采样周期T小得多。 （2）对采样周期T大小的约定 满足Shamnon采样定理给出的条件 （3）对保持方式的约定 零阶保持方式 无论是采用数字计算机分析连续时间系统运动行为，还是采用离散控制装置控制连续时间受控系统，都会遇到将连续时间系统化为离散时间系统的问题。 基本结论： 给定连续时间线性时变系统 则其在基本约定下的时间离散化描述为 其中 结论： 给定连续时间线性时不变系统 则其在基本约定下的时间离散化描述为 其中 结论 ： ①时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性 ②离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。 【例6】线性定常系统的状态方程为 设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。 解 本章中涉及的计算问题主要有 矩阵指数函数的计算、 系统运动轨迹的计算(即状态空间模型的求解) 基于Matlab的基本函数和工具箱，可以进行上述系统运动分析的计算和仿真。 3.5 Matlab问题 矩阵指数函数的计算问题有两类, 一类是数值计算，即给定矩阵A和具体的时间t的值，计算矩阵指数eAt的值; 另一类是符号计算，即在给定矩阵A下，计算矩阵指数函数eAt的封闭的(解析的)矩阵函数表达式。 数值计算问题可由基本的Matlab函数完成，符号计算问题后一类则需要用到Matlab的符号工具箱。 eAt的数值计算 eAt的符号计算 3.4.1 矩阵指数函数的计算 1. eAt的数值计算 在Matlab中，给定矩阵A和时间t的值，计算矩阵指数eAt的值可以直接采用基本矩阵函数expm()。 Matlab的expm()函数采用帕德(Pade)逼近法计算矩阵指数eAt，精度高，数值稳定性好。 expm()函数的主要调用格式为 Y = expm(X) 其中，X为输入的需计算矩阵指数的矩阵，Y为计算的结果。 Matlab问题3-1 试在Matlab中计算例3-1中矩阵A在t=0.3时的矩阵指数eAt的值。 Matlab程序m3-1如下。 Matlab程序m3-1执行结果如下。 A=