(集合函数极限微积分的源头问题与应用1.docxVIP

集合，函数，极限，微积分的源头问题与应用数学是一门古老的科学，很可能在几千年以前，古代人为了知道家畜有多少，学会了计数的方法。从那时起，便开始有了数学。过了若干个世纪，数学的各种有助于人们的概念也有了发展。数学中所有概念都是由于人们生活需要才不断产生和发展起来的。随着时间的推移，很多新生的数学思想又不断丰富着数学的宝藏。集合的源头问题与应用集合论最重要的创建者是康托尔（Georg Cantor，1845—1918）。在19世纪人们很少怀疑微积分的基础应该建立在严密的实数理论上，而严密的实数理论可以由集合论推出。但是微积分本质上是一种“无限数学”。那么无限集合的本质是什么？它是否具备有限集合所具有的性质？从19世纪60年代起，法国数学家康托尔承担了这一工作，他清楚地看到以往数学基础中的问题，都与无穷集合有关。其中包括这样一些问题：“整数究竟有多少？”“在一个圆周上包含多少个点？”“一小时里有多少刹那的时光度过？”“在1-2之间的数，比一根线上的点还多吗？”康托解决了以上的问题。他的工作标志着“集合”这个概念已经在数学中诞生了。1900年左右，正当康托尔的思想逐渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，大家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。1903年英国哲学家兼数学家罗素（Russell, B.A.W,1872—1970）提出了一个悖论，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果说是，即包含自身，属于这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。罗素悖论以其简单、明确震动了整个西方数学界和逻辑学界，逻辑学家费雷格收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术基础法则》第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难甚的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当这本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”弗雷格对罗素悖论的迅速反应是惊恐地感到：“算术开始受难。”数学史上第三次危机来临了，数学王国的居民们惶惶不安，因为数学家们一贯追求严密性，一旦发现他们自称绝对严密的数学的基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想像，他们是多么震惊。震惊之余，数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其他有关的“悖论”。现在，各种成功地解决悖论的方案都对集合的“无限扩张”进行了限制，因此现在任何一种形式的集合论，实质上都包含一个“限制大小”的公理。点集论体系是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。有关集的理论已应用到从代数到概率的很多数学分支学科中去。在几何中的应用：在空间几何学里，我们要谈到点的集。一个点上的线集是无限集，一条线上的点集也是无限集；当两个平面相交的时候，它们的交集是一条直线。在代数中的应用：一个命题的解集，例如，{x|3x+7=22}的解集为{x=15}；有序对集{（x, y）|2x+y=7}；在逻辑中的应用：集地最好应用之一，就是用于逻辑演绎。利用集作为逻辑演绎的一个方法，能把各种关系清楚地描画出来。例如，叙述“假定所有的姑娘都很漂亮，做妻子的都是姑娘，那么，所有作妻子的都是漂亮的人”这句话用集来表示更清楚明白，设A=所有漂亮的人的集，B=所有姑娘的集，C=所有作妻子的集。则上面的叙述可表示为(A∩B=B)∧(B∩C=C)→A∩C=C，显然该叙述是正确的。函数的源头问题与应用函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量地变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖，就是函数概念的萌芽。 一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹。函数