应聘高校数学老师试讲课件之微分中值定理及其应用.ppt

应聘老师简介： 上海海事大学研究生教育学院 产业经济学硕士研究生 李杰 应聘岗位：数学教师 微分中值定理及其应用 一、罗尔（Rolle）定理 定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b) 例如, 几何解释: 若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线， 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 证 注 ① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件 如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。 例如, 又例如, 在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件 再例如 在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件 ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个； 另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点， 如 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而 但却不易找到使 但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用。 例1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 例2 证明 至多有三个实根 证 直接证明有困难，采用反证法 设 有四个实根 连续、可导 对 用罗尔定理得 连续、可导 对 用罗尔定理得 连续、可导 对 用罗尔定理得 矛盾 得证结论成立 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 几何解释: 证 分析: 弦AB方程为 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 微分中值定理 推论1 推论2 例2 证 例3 证 由上式得 例4 证 Lagrange定理 例5 设抛物线 与 x 轴有两个交点 函数f(x)在[a,b]上二阶可导 曲线y = f ( x )与抛物线 在（a,b）内有一个交点 证明 证 如图所示 o x y y=f(x) a b c M N 由罗尔定理，得 再由罗尔定理，得 三、柯西(Cauchy)中值定理 几何解释: 证 作辅助函数 Cauchy定理又称为广义微分中值定理 例6 证 分析: 结论可变形为 试讲到此结束，各位老师辛苦了，谢谢各位老师！