高中数学易错题点评[特约].doc

高中数学易错题点评 (2005) 2004、8、1 集合是数学的最原始概念之一，它涉及带中学数学的各个章节，稍不注意，就会出错，本文试加以归类： 一、符号意义不清：常见 在给定下面关系式中，正确的是__（2）（3）（4）（5）________。 （1） （2） （3）{} （4）{} （5）{} 例2 已知集合A={1,2},B={x∣xA},问集合A和B的关系。 错解AB (AB) 正解 xB,xA, B中的元素是集合。又A的子集有，{1}，{2}，{1，2}， 集合B={，{1}，{2}，{1，2}}。集合B的元素是集合，集合A虽是集合，但在此题中A是B的元素，所以AB 二、忽视：漏特例 A={x∣x2-2x-3=0},B={x∣ax-1=0},BA,求a 错解A={3,-1},B={},从而a=或-1。 正解 B时，得a=或-1。B= 时，得a=0 三、忽视互异性；致增解。 例3 A={1,4,a},B={1,a},B A,求a。 错解a=4或a=a,得a=2或a=0或a=1 正解a=1应舍去。 四、忽视隐含条件，导致结果错误 例1 求函数y=的值域 错解 （用判别式法） 将原函数变形得：(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0 ① 当y=1时，①式化为 –3x=9,有解x=3; 当y≠1时，∵①式中x∈R ∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0 即：25y2-20y+4≥0, 解这个不等式得y∈R 综上：原函数值域为：y∈R 分析 没有注意定义域对值域的影响，扩大了y的取值范围。 事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下，原函数可化为：y== (y-1)x=2y+1 ∴y≠1 且x=≠-3 解得y≠1且y≠ ∴原函数值域为：y∈(-∞, )∪(,1)∪(1,+∞) 例2 已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。 错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12， 因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+ ∴当x=-时，x2+y2有最大值 即x2+y2的取值范围是(-∞, ] 分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+=1得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1, ] 忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 例3 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。 错解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4 ≥2ab++4≥4+4=8 ∴(a+)2+(b+)2的最小值是8 分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 事实上，原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4 =[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+)+4 由ab≤()2= 得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17 ∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立) ∴(a+)2+(b+)2的最小值是。 例4 甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。 把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 错解 （1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是，全程运输成本为 y=a+bv2=s(+bv) 故所求函数即定义域为y= s(+bv) , 0＜v≤c （2）由题意s,a,b,v均为正数，故s(+bv)≥2s （当且仅当=bv时，即 v=时，等号成立）∴v=时，全程运输成本最小。 分析 在（2）中，结论成立的条件是v=，但速度能否达到呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整。应分以下两种情况讨论：①若≤c,则当v=时，全程运输成本最小。②若＞c,当0＜v≤c时,易证y是v的增函数，因此，当v=c时，全程运输成本最小。事实上， s(+bv)- s(+bc)=s[a(-)+b(v-c)]=(c-v)(a-bcv) ∵c-v≥0且a＞bc2 ∴a-bcv≥a-bc2＞0 ∴s(+bv)≥s(+bc) （当且仅当v=c时，等号成立） 综上所述，为使全程