计算方法习题及答案.doc

绪论 填空题 1. 为精确值的近似值；为一元函数的近似值；为二元函数的近似值，请写出下面的公式：： 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。 分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取（三位有效数字），则。 设均具有3位有效数字，则的相对误差限为 0.0055 。 设均具有3位有效数字，则的误差限为 0.01 。 已知近似值是由真值经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 . 递推公式如果取作计算,则计算到时,误差为;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 精确值，则近似值和分别有 3 位和 4 位有效数字。 若,则x有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。 10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n 二、计算题 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L，宽为W,深为H，则该水池的面积为 V=LWH 当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为 相对误差可估计为： 而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足 故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为 2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若 试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为 s=ab 当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为 相对误差可估计为： 而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足 故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。 3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差 4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？ 解：令，根据一元函数相对误差估计公式，得 从而得 5.正方形的边长大约为100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2 ?解：da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a的误差不超过0.005cm时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。 6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。 解： =2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325 =2=0.0002 插值法 一、问答题 1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？　　答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质，.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？　　答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为 Newton插值多项式为它们形式不同但都满足条件,于是它表明n次多项式 有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。 是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而 每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。 .Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？　　答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为 后面相因子改为即可得到Hermite插值余项。＝(x4+2). 2.设xi(i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，li(x)为相应的五次插值基函数，则= 3.已知 4.。 5.设则＝ =0 6.设和节点则则的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。 8.如有下列表函数: 0.2 0.3 0.4 0.04 0.09 0.16 则一次差商= 0.6 。 二、计算题 1、设,求差