第三讲定积分.doc

第三讲：定积分 一、定积分： ⒈概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上取任一点（i＝1，2，…n）作和式（其中△x为小区间长度），把即△x→0时，和式的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝。 这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式。 ⒉定积分基本定理： ⒊基本的积分公式：＝C；＝＋C（，）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝＋C（表中C均为常数）。 ⑴定积分的性质：①（k为常数）； ②； ③（其中a＜c＜b。 ⑵定积分求曲边梯形面积 由三条直线，轴及一条曲线围成的曲边梯的面积。 如果图形由曲线（不妨设），及直线围成，那么所求图形的面积 S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。 解题步骤：⑴画出草图，并由图形特点选择适当的积分变量；⑵借助图形直观确定出被积函数及积分的上、下限；⑶利用积分基本定理计算定积分；⑷求出平面图形的面积。 适当分割图形或适当地选择积分变量可以简化解题过程。 二、习题精选：⒈计算下列定积分的值： （1）；（2）；（3）；（4）；⑸；⑹； ⑺；⑻；⑼；⒑ ⒉利用定积分的几何意义,写出下式的值:_________. ⒊曲线与坐标轴围成的面积是 （ ）　　A.4 B. C.3 D.2 ⒌求由曲线与，，所围成的平面图形的面积(画出图形)。 ⒍如图所示，设过原点O与x轴上一点A的抛物线和过原点的直线相交于点B，从点B向x轴引垂线垂足为H，设被分成三部分的面积分别是，求的值. 4