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浅谈用波利亚解题思想解数学应用题 　　　　　　　 辽宁省本溪县高级中学　　于福群 实际应用题是高考数学题的一种重要题型，同时对于培养学生的数学应用意识、数学建模能力，训练学生的抽象思维能力，都有着重要的作用。但由于种种原因，很多同学对应用题望而生畏.我想一个重要原因是缺乏正确的解题方法作为指导.本文尝试从波利亚的解题思想来探求应用题的解法。 波利亚在《怎样解题表》中指出，解题的四个主要步骤是：一、弄清问题；二、拟定计划；三、实施计划；四、回顾。下面举例说明。 题目：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为２００平方米的三级污水处理池（平面图如下图）。由于地形限制，长、宽都不能超过１６米。如果池周围四壁建造单价为每米４００元，中间两道隔墙建造单价为每米长２４８元，池底建造单价为每平方米８０元，池壁厚度不计。试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。 弄清问题. 弄清问题，也就是审题。笔者认为主要包括两个方面：背景分析和量与数的分析。 背景分析：通过读题，理解题中叙述的是怎样的一个事件，不清楚的地方要多读几 遍，抓住问题中的关键信息。本题说的是拟建一个三级污水处理池，怎样设计长和宽，使总造价最低的问题。由题意可知关键信息应是各部分造价的计算。在做题中，有同学问：池四壁和两道隔墙的单价为什么按每米算，而不按每平方米算呢？这说明学生对问题的背景不熟，他们不知道在建筑上墙的造价是按长度来计算的。由于学生对此不了解，从而造成思路阻塞。这就要求：①学生对问题做出科学的分析，并坚定自己的信心；②学生平时就要对留心生活中的事物与数学的联系，深入探究，虚心求教，不断积累。比如，银行利率的计算；出租车记费等。③要善于把问题进行类比、联想。把握住问题的相似之处，合理地推理、迁移。比如，1999年高考数学第22题，是一道以轧钢为背景的问题，虽然背景比较生疏，但却与实际生活中的擀面相似，是等体积几何模型问题。 ２、量与数的分析：数学研究的是空间形式和数量关系的一问科学。在数学应用题中研究数量关系的问题比较多。在理解背景的基础上，分析问题中涉及到哪些量，哪些量是已知的，哪些量变是未知的，哪些量可以求出，哪些量不能求出？例如，本题中涉及到的量有：⑴　污水处理池矩形的面积：２００m2;⑵　池底建造单价：80元/m2;⑶　污水处理池矩形的长和宽：不超过去16m;⑷　池四周围壁的建造单价：400元/m;⑸　中间两道隔墙建造单价248/m;⑹　总造价。这个问题中涉及到6个量，分别如上。（在做题时，在草纸上把这些量记录下来，以便于分析）。由上面的记录可知：矩形池的长和宽、总造价是未知量。可设出矩形的长为x m,总造价为Q(x)元. 　　我们在分析题意时，要对背景信息进行深加工，而不能只停留在问题的表面。要善于从数学的思维角度去分析题意，抽象出题目所提供的信息中的各种量和数值。也就是要发现信息，记录信息，转译信息。 　　二、拟定计划。 　　就是考虑怎样把实际问题，转化成数学问题。在上一步，我们分析出了问题中涉及到的量，现在进一步研究各个量之间的关系，进行数学化设计，建立数学模型（一般有函数模型、方程模型、数列模型、不等式模型、几何模型、概率模型等）。本题我们不难得到矩形池的长、宽和面积的关系。设长为x m,则宽为() m.再由题意可知，总造价由三部分组成：①围壁的造价=围壁建造单价×围壁的长度，即为400×(2x+2×) 元；②两道隔墙的造价=隔墙的单价×隔墙的长度，即为(248×2×) 元；③池底的造价=池底建造单价 ×池底面积，即为80×200 元。而总造价=围壁的造价+两道隔墙的造价＋池底的造价。我们把这些自然语言转译成数学语言，即可得 Ｑ(x)= 400×(2x+2×)+ 248×2×+80×200 =800×(+)+16000. 至此，我们得到了矩形的长x与总造价Q(x)之间的函数关系，函数模型建立起来了。 三、实施计划。 实施计划是对已建立起来的数学模型用数学方法求解的过程。本题要求污水池的长和宽，使总造价最低。虽然是两个问，但我们要抓住问题的主要方面，即求最低造价。相应地矩形的长和宽亦可求出了。那么，现在问题就转化为求函数Q(x)的最小值。有同学是这样做的： Q(x) =800×(+)+16000 ≥800×+16000 当且仅当(x0),即当x=18时，上式等号成立。 这位同学的解答是错误的，是同学当中普遍存在的错误。这些同学只注意了题目形式上的特点：符合用均值不等式求最值的形式。而忽略了用均值不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。由题意知， 0x≤16 0≤16 解得：≤x≤16 ∴函数Q(x)的定义域为[，16]