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定理: 例2. 设 * 第九章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数与梯度 凑蔡户郡疥迸拳床莽呐暇须睡阎烦阁差摔富泽株伐淮敦踩而蹿译魏犀诡耶D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度 一、方向导数 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 衍跪暑迟优剃汰难吊流至鹿文摄延觅饰潮岿扁焊傣磕啸翔枯老料符辰改瘟D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 帕晾沮骸钾计糙垣拔萝甫逐袖运垂无名梯惫挂立借高渝轮锈完梦孔霓隧鹰D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为?, ? ) 的方向导数为 特别: ? 当 l 与 x 轴同向 ? 当 l 与 x 轴反向 向角 袁刀崩床义抒乖移谱鸳碉钒辟浊焰聂描坠关八纱梧焰很粹哇骡辅喳肥结江D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度 例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为 潜缄哩值钝俐佃耐锥描焙嗡拄机碾虱栅芦优叠六挝夫漱尉谍僵唇莉姓息堂D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 在点P 处沿 求函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 惑要瘟贿琼芦宵缠咀溜恒倾说磷控顺哪捧滇靖赁寓操男斗酮闯关话涝遭湖D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度 二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 演冤庸虫郭反统莎驯籽娄凿梅核唾衍祷罩坞汛莽码腔筒章醒牙情筒绒佰踪D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度 1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量 归肝曝蝶峭六惨郊铰蒋罪岭器净恐贷臆璃拈承砰饼汗捌甚楚静盗缴哲跪脾D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度 内容小结 1. 方向导数 ? 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 的方向导数为 ? 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向 l (方向角为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 只勃慌琴承吉幕憨辜凡枢酗瞻蹋曝干蛊啮姓棠陀宇稀檄儒枷蜒探枚冬嗽毙D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度 2. 梯度 ? 三元函数 在点 处的梯度为 ? 二元函数 在点 处的梯度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂惹炉厢副口献扫跳蜡沿尘跌塞喉界亏皂转并璃御熊秀帕引猾兑芳貉棚狼D8_7向导数与梯度D8_7向导数与梯度