(河南省第十四届2006高中数学竞赛高中二年级试题及参考答案.docVIP

河南省第十四届（2006）高中数学竞赛高中二年级试题及参考答案 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题、填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的档次给分，不要再增加其它中间档次。 2．如果考生的解答与本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的评分档次，给予相应的分数。 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，则实数a的取值范围（A） （A） （B） （C） （D） 解． 利用数形结合，容易得出实数a的取值范围a 1 故选A 2．当 直线所围成的图形的面积是(D) (A) (B) 4 (C)9 (D) 16 解：直线方程可变为（x-1）cos+（y-1）sin=4于是求出点A（1，1）到直线的距离d=,所以当直线=+ 所围成的图形是以点A 为圆心，以4为半径的圆，从而所围成的图形的面积是16.故选D 3.数列{an}中，相邻两项an, an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，已知a10=－17.则b51的值等于(B) （A）5800 （B）5840 （C）5860 （D）6000 解: ∵an+an+1=－3n，∴an+2－an=(an+2+an+1)－(an+1+an)=－3(n+1)－(－3n)=－3 ∴a1, a3,…, a2n+1和a2, a4, …, an都是公差为－3的等差数列，∴a52=a10+21(－3)=－80 a51=a11+20(－3) ∵a10+a11=－30 ∴a11=－13 ∴a51=－73，b51=a51·a52=5840 故选B 4.已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且，，的值等于(D) （A）2 （B）1 （C）0 （D） 解：由题意：， ∴a、b是方程的两根， ∴， ∴ ∴ =.故选D 5.设函数f(x)=,如果f()=，那么的值等于 (C) （A）3（B）7 （C） （D） 解：取x= ,有f( )= 而当= 时有 x= 所以 故选C 6、已知p,p+14,p+q都是质数，并且p有唯一的值和它对应，则q只能取(A) A 40 B 44 C 74 D 86 解： q只能取40 。p=3k时，p只能等于3，符合。P=3k+1时，p+14不是质数，P=3k+2时，p+40不是质数。故选A 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上. 1. 直线过抛物线y2=a(x+1)(a0)的焦点，并且与x轴垂直，若被抛物线截得的线段长为4，则a= 4 。 解y2=a(x+1)与抛物线y2=ax具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程y2=ax替换一般方程y2=a(x+1)求解，而a值不变。由通径长公式得a=4。 2．设 ,则的最小值是 48 解： = = (a=2时取等号) 3．已知数列满足 +1，则数列的前n项和= 解：利用归纳可得a=n+2.则有a=(n+2)-（n+1）(n+2)+1=n+3. 并且满足条件。所以a=n+2. 从而数列的前n项和s=3+4+……+(n+2)=. 4. 边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形,则有 ， ∴ 两边平方并整理有：ab ∴ a,b都是正整数，∴a=5时b=12. a=6时b=8 ∴ 满足题意的三角形有2个。 5.过椭圆的一个焦点F作弦AB，若 m， n， 3 解：因为 所以，同理可以得到。故：=3 6．设t=,则关于x的方程=0 的的所有实数解之和等于 4 解：我们定义变形为，可以发现函数是定义在实数集上的减函数。又因为 ，从而关于x的方程=0的解分别是0，1，3. 三、（本题满分20分） 如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝a，又PA平面ABCD，PA4． (1)若在边BC上存在一点Q，使PQQD，求a的取值范围；(2)当BC上存在唯一点Q使PQQD时，求异面直线AQ与PD所成的角；(3)若a＝4，PQ⊥QD，求二面角APD－Q的大小