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MATLAB解ODE分子二班 张雷 1314057要求：介绍MATLAB求解常微分方程初值问题、刚性问题、边值问题，隐式微分方程、延迟微分方程、代数微分方程的功能函数和使用方法，并分别举例说明。含程序和运行结果。常微分方程（ODE）的定义：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　常微分方程的解析解：有些微分方程可直接通过积分求解。有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解。一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个阶方程 设，可将上式化为一阶方程组 所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。常微分方程的数值解： 除常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无限世界，应用中主要依靠数值解法。我们学过的有向前欧拉公式、向后欧拉公式、龙格-库塔公式、Adams公式等等等等。这其中，包含显格式、隐格式，单步法、多步法。这些方法如果通过手工计算，费时费力，而且难免出错。使用Matlab进行计算，解决常微分方程问题就显示出优越性。dsolve()函数在MATLAB中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下：r = dsolve(eq1,eq2,..., cond1,cond2,..., v)eq1,eq2,...为微分方程或微分方程组，cond1,cond2,...,是初始条件或边界条件，v是独立变量，默认的独立变量是t。函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。求通解 隐式微分方程 求解微分方程输入语句：y=dsolve(Dy-x^2-y,x) (以字符串形式)输出结果：y =C2*exp(x) - 2*x - x^2 – 2边界问题 求解微分方程 输入语句：syms x y;y=dsolve(x*Dy+y-x=0,y(1)=2*exp(1),x)输出语句：y =(x^2/2 + 2*exp(1) - 1/2)/x 求微分方程输入语句：syms x y;y=dsolve(D2y-x=0,Dy(0)=2,y(0)=1,x)输出语句：y =x^3/6 + 2*x + 1求解微分方程组 求输入语句：[y1,y2]=dsolve(Dy1=4-2*y1,Dy2=2*x-y2,x) 输出语句；y1 =exp(-2*x)*(C10 + 2*exp(2*x))y2 =exp(-x)*(C11 + 2*exp(x)*(x - 1))问题四：初值问题求解输入语句：y=dsolve(Dy=4-2*x*sin(x),y(0)=1,x) 输出语句：y =4*x - 2*sin(x) + 2*x*cos(x) + 1数值解ode23、ode45等功能函数MATLAB提供了7个常微分方程求解器（solver），分别是ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb，其中前3个适用于求解非刚性（Nonstiff）问题，后4个适用于刚性问题。基于龙格-库塔法，MATLAB提供了求常微分方程的数值解的函数。一般调用格式为： [t,y]=ode23(filename,tspan,y0) [t,y]=ode45(filename,tspan,y0)其中filename是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。,tspan形式为[t0,tf],表示求解区间，y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间限量和相应的状态向量。对于两者区别：ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数；solver有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型，不同类型有着不同的求解器。ode45求解器属于变步长的一种，采用Runge-Kutta算法；和他采用相同算法的变步长求解器还有ode23。 　　ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta单步算法,截断误差为(Δx)3。初值问题输入语句 function [ y ] = fun_01(x,y )y=x^2+yend t0=0;tf=1; %确定t的范围y0=2;[t,y]=ode23(