(线面平行习题精选精讲.docVIP

1.已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证． 分析4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现． 证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和， ∵∥平面，∥平面， ∴∥，∥，∴∥， 又∵平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面∩平面=，∴∥，又∵∥，所以，∥． 2．已知：空间四边形中，分别是的中点，求证：． 证明：连结，在中， ∵分别是的中点， ∴，，， ∴． 3、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=4，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点. （I）求证：AF//平面PEC； ．解：（I）如图，设PC中点为G，连结FG， 则FG//CD//AE，且FG=CD=AE， ∴四边形AEGF是平行四边形∴AF//EG，又∵AF平面PEC，EG平面PEC， ∴AF//平面PEC 4 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE. 证法一：如图9-3-4（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ,∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, ∴,.∴. ∴PM∥QN.即四边形PMNQ为平行四边形. ∴PQ∥MN. 又∵MN面BCE，PQ面BCE，∴PQ∥面BCE. 证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK. ∵AD∥BC,∴. 又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ， ∴.则PQ∥EK. ∴EK面BCE，PQ面BCE.∴PQ∥面BCE. 点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线. 5 如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、 PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD内的射影为点D，如图2. （I）求证：AP∥平面EFG； 解：由题意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2. （I）∵E、F、G分别为PC、PD、BC的中点. ∴EF∥CD，EG∥PB. 又CD∥AB ∴EF∥AB，PB∩AB = B，∴平面EFG∥平面PAB. ∴PA∥平面EFG. 6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ. .证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形，∴AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内， 且OQ是△APC的中位线，∴PC∥OQ. ∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ. 7.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD. .证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如答图9-3-3， 则由正方体性质得 B1D1∥BD. ∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点， ∴EF∥B1D1. ∴EF∥BD. ∴E、F、B、D对共面. （2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO. ∵M、N为A1B1、A1D1的中点， ∴MN∥EF，EF面EFBD. ∴MN∥面EFBD. ∵PQ∥AO, ∴四边形PAOQ为平行四边形. ∴PA∥OQ. 而OQ平面EFBD， ∴PA∥面EFBD. 且PA∩MN=P，PA、MN面AMN， ∴平面AMN∥平面EFBD. 8 ，线段GH、GD、HE交、于A、B、C、D、E、F，若GA=9，AB=12，BH=16，，求。 证明： AC∥BD AE∥BF ∴ 9 正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN //平面BCE 证：过N作NP//AB交BE于P，过M作MQ//AB交BC于Q 又 ∵ MQPN 10. P为 ABCD所在平面外一点，，，且求证： . 证：连BF交CD于H，连PH AB//CD ∴ ∽ ∴ 在中 ∴ 11三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平