第7讲微积分发展史..docVIP

第7讲 微积分发展史 微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 一、微积分产生的背景 微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人们习惯于研究常量和有限的对象，遇到无穷时往往束手无策。 生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的《天体运行论》确立了“日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题需要解决，数学也开始进入了“变量数学”时代。通过这些向数学提出了如下4个问题： （1）由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。 （2）确定物体运动方向（切线方向）或光学中曲线的切线问题。 （3）求最大、最小值问题。 （4）一般的求积（面积、体积）问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。 在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。这种新的数学方法取代了古老的欧几里得几何的综合方法，这种数学发展中的质变，为17世纪下半叶微积分的出现准备了条件。 1615年，开普勒在他的《测量酒桶体积的新科学》中采用微元的方法研究了面积、体积等问题，例如，他认为面积就是无穷多条线段之和，而线段可以看作无穷小的面积，用无穷多个同维的无穷小元素之和来确定曲边形的面积和曲面体的体积是开普勒方法的精华。 伽利略的学生卡瓦列里的最大贡献是提出了“不可分原理”。1635年，卡瓦列里出版的《用新的方法推进连续体的不可分量的几何学》中认为，面积是无数个等距平行线段构成的，体积是无数个平行的平面构成的，他分别把这些元素叫做面积和体积的不可分量，这种思想基本上就是微积分的思想了。他运用“不可分原理”算出了一些面积和体积的结果，得到了等价于的结果。“不可分原理”的著名命题是“卡瓦列里原理”，在我国称作“祖暅原理”。 1638年，费马首次引用字母表示“无限小量”，并运用它来解决极值问题，之后，他又提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线方法，并由此解决了一些与切线有关的问题和极值问题。后来，格列哥利、华利斯继续费马的工作，用符号“o”表示无限小量，并用它来进行求切线的运算。 牛顿的老师巴罗是剑桥大学的数学教授，他的《几何讲义》对微积分的创立是一个巨大贡献。他的几何方法的特点是利用微分三角形来构造切线，即以自变量增量与函数增量为直角边构造直角三角形，该三角形中包含了微积分的精华，它的两个直角边的商可决定变化率，即导数。巴罗甚至还指出了求切线和求体积的互逆性，但他不喜欢代数方法，认为自己的结果是对古典几何的完善化，从而失去了创立微积分的机会。1669年，巴罗将教授席位让给牛顿，并对牛顿的微积分创立工作施以很大的影响。 二、微积分的创立 1．牛顿的工作 牛顿的微积分研究大体可以分为三个阶段： 第一阶段的工作以《运用无穷多项的分析学》（1669年）为标志。其方法举例说明如下： 设有一条曲线，它下面的（曲边梯形）面积可表为（为有理数）。当横坐标获得瞬（无限小增量）时，产生的面积瞬为（面积增量）。新面积为 由二项展开式（以牛顿命名）得： 　　　 两端消去相等的部分（）并除以得： 略去含的项得： 　　　　 这就是曲边梯形的曲边表达式。 这个结果表明，若面积由给出，则曲边梯形的曲边为；反之，若曲线由，则曲边梯形的面积为。这不仅给出了求（瞬时）变化率的方法，而且还揭示了求积与求变化率之间的互逆关系。 第二阶段的工作主要体现在1671年成书，1736年出版的《流数法和无穷级数》一书中。书中牛顿把随时间而变的量称为流量，用字母、、等表示，而把流量的变化速度（流量对时间的变化率）称为流数，记为、、等