根与系数关系知识讲解及练习..docVIP

韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，则 说明：（1）定理成立的条件 （2）注意公式重的负号与b的符号的区别 根系关系的几大用处 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；? 例如：已知方程x2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ ） A． 3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；? 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.? 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数. （后三种为主） （1）计算代数式的值 例 若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解：由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． （2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。 例 解方程组 x+y=5 ??????????? xy=6??? 解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z1=2,z2=3 ∴原方程组的解为 x1=2,y1=3 ???????????????? x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 （3）定性判断字母系数的取值范围 例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。 解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2 由题意知 △＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4 ∴ 为所求。 【】的方程，根据下列条件，分别求出的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足． 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为5 ∴ 所以，时，．得知： ①当时，； ②当时，，故不合题意，舍去． 综上可得，时，方程的两实根满足． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足． 例2 已知是一元二次方程的两个实数根． (1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使的值为整数的实数的整数值． 解：(1) 假设存在实数，使成立． ∵ 一元二次方程的两个实数根 ∴ ，是一元二次方程的两个实数根 ∴ ∴ ，但． ∴不存在实数，使成立． (2) ∵ ∴ 要使其值是整数，能被4整除，，， 要使的值为整数的实数的整数值为． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法． 一元二次方程根与系数的关系练习题 A 组 1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D． 3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( ) A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A． B． C． D．大小关系不能确定 5．若实数，且满足，则代数式的值为( ) A． B． C． D． 6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ． 9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ． 10．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ． 11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由． 12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值． 13．已知关于的一元二次方程． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为，且满足，求的值． 14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长． (1) 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 当矩形的对角线长是时，求的值．