第二十章数据分析..docVIP

第二十章 数据的分析 【知识概念图表】 知识要点（定义、公理、定理、公式、法则） (一)数据的代表 定 义 共同点 各自优点 局限性 平均数 ①把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，叫做这组数据的平均数。即设有n个数x1，x2，…，xn，那么平均数为：；所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用但易受极端值影响；x1，x2，…，xn，就叫做这n个数的加权平均数; ③简化计算法：若，，…，,则(是我们估计的一个接近，，…，的平均数的常数); 中位数 将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。计算简单，受极端值影响少但不能充分利用所有数据的信息一组数据中出现次数最的数据叫做这个组数据的众数。各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。 定 义 计算方法 作用 极差 一组数据中最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。 极差、方差、标准差都是反映一组数据离散程度的统计量，一般来说，一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据的波动也就越小，这组数据越稳定。反之，这组数据就越不稳定。 方差 一组数据中，各个数据相对于平均数的偏差平方的平均数就是这组数据的方差。 ①方差： 其中是这组数据：x1，x2，…，xn，则得到一组新数据，那么这组新数据的方差就等于原数据的方差的。即：若,,…,,则（是接近、、…、的平均数的较“整”的常数）; 标准差 一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差。 深度理解 样本平均数是描述一组样本数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。 方法指引 要求一组数据的中位数，首先要对这组数据按大小排序，然后找出居于最中间的一个数或两个数，并求两个数的平均数。 思维拓展 样本方差是刻画样本数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。 方法指引 计算标准差通常有以下几步：①求这组数据的平均数；②代入方差公式计算方差。③求方差的二次算术根。 【易混易错剖析】 1.应用平均数、众数和中位数的概念及计算公式时容易出错。也许是对于概念理解不到位，也许是公式掌握不准确，抑或是学习品质差解题马虎等导致对统计量的计算结果出现错误。 典型示例： ①填空：若1，2，3，x的平均数是5，又1，2，3，x，y的平均数是6，则y的值为 ； ②填空：在一次数学竞赛中，10名学生的成绩如下：75，80，80，70，85，95，70，65，70，80．则这次竞赛成绩的众数是某班53名学生右眼视力的检查结果如下表所示： 则该班学生右眼视力的中位数是设有n个数x1，x2，…，xn，平均数为那么，所以：.又,代入得：，所以.因而正确的答案是：。 本题启示：应用公式时要学会变式，不要只会知道每一个数据及数据的个数运用公式去求平均数，若是告诉你平均数的值和数据的个数时，也可以运用这个公式去求这几个数据的和，若告诉了部分数据再让你求其中几个数据的和或个别数据，还是可以运用这个公式去计算的。当然，本题还应用到了方程思想及整体代入消元的方法，都是值得我们学习的。 ②本题主要考查众数的概念。一组数据中出现次数最的数据叫做这个组数据的众数。数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。该班学生右眼视力的中位数是，则.分以下几种情况讨论：ⅰ若，显然众数只能是10，依题意得：，解得：，即数据组按大小排列是：12，10，10，10，8，与假设的前提与已知条件均没有矛盾，所以此时的中位数应是：10 ；ⅱ若，显然此时存在两个众数，即10和12，因而可得：或者，解得：，这与假设的前提相矛盾，因而这种情况不成立；ⅲ若，显然此时存在两个众数，即10和8，因而可得：或者，解得：，这与假设的前提相矛盾，因而这种情况也不成立；那么综合上述三种情况，只能是：，此时中位数是10.所以正确的答案是：填10. 本题启示：ⅰ必须要弄懂众数、中位数和平均数的概念及计算要领；ⅱ当有不确定的情况时，一定要分类讨论，分类时不要漏掉了一些情况，同时要注意：解出的结果若是与假设的前提相矛盾，或者与已知条件相矛盾，均应舍去。 2.计算方差、应用方差和探究方差的相关特性时往往容易出错。就是部分同学对于方差的计算公式记不准确，并且在运用时由于马虎也常常出错，即便是计算正确了，但有的同学不知道方差是个判断什么的量，还有就是关于方差的相关特性，学生更是搞不懂，也是错误不断。