第九章第6讲双曲线..docVIP

第6讲　双曲线 1．双曲线的概念 (1)定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(02a2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)集合：若集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中2c2a0，即ca0，则P点的轨迹是以F1、F2为两焦点的双曲线，且|F1F2|＝2c是双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，yR y≤－a或y≥a，xR 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e(1，＋∞) 性 质 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b(a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长) a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 1．渐近线为mx±ny＝0对应的双曲线方程为m2x2－n2y2＝λ. 2．当双曲线焦点不明确时，要分焦点在x轴上与y轴上两种情况进行讨论求解． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(选修2－1 P61A组T1改编)双曲线－＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为(　　) A．20 B．16 C．12 D．8 解析：选A.设P到另一个焦点的距离为d， 则|d－4|＝2×8＝16， d＝20，故选A. 2．(选修2－1 P55练习T1(3)改编)双曲线C的焦点为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：选B.2a＝ ＝4. a＝2，又c＝6， b2＝c2－a2＝36－20＝16. 双曲线的标准方程为－＝1.故选B. 3．(选修2－1 P57内文改编)等轴双曲线的离心率为(　　) A. B. C．2 D．3 解析：选A.不妨设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2， c2＝a2＋a2＝2a2，即c＝a， e＝＝，故选A. 4．(选修2－1 P62A组T4(3)改编)离心率为，且经过(－，2)的双曲线的标准方程为________． 解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为－＝1. 则＝，－＝1.且a2＋b2＝c2. 解得a2＝1，b2＝2. 所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 当双曲线焦点在y轴上时，设方程为－＝1. 则＝，－＝1，且a2＋b2＝c2. 解得a2＝，b2＝5. 所求双曲线的标准方程为－＝1. 答案：x2－＝1或－＝1 5．(选修2－1 P62B组T1改编)与椭圆＋＝1有相同焦点且离心率为的双曲线的标准方程为________． 解析：椭圆＋＝1的焦点F(±5,0)． 设双曲线方程为－＝1， 则c＝5，＝， a＝4， b2＝c2－a2＝25－16＝9， 所求双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 　　　　　　双曲线的定义与标准方程　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)[双曲线的定义及应用]已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为________． (2)[双曲线的标准方程]如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________． [解析]　(1)由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5， 则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上． 由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a， 则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故PQF的周长为28＋16＝44. (2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)， 解得 双曲线的标准方程为x2－＝1. [答案]　(1)44　(2)x2－＝1 (1)双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点满足某种关系的轨迹是否为双曲线(或是双曲线的某一支)，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝