第三章第5讲定积分与微积分基本定理..docVIP

第5讲　定积分与微积分基本定理 1．定积分的概念 在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 2．定积分的运算性质 (1)kf(x) dx＝kf(x) dx (k为常数)； (2)[f1(x)±f2(x)] dx＝f1(x) dx±f2(x) dx； (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx (a＜c＜b)． 3．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x) dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)， 即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)． 1．利用定积分求几条曲线(包含直线)围成的图形的面积时，如果围成的图形较复杂时，可以过特定的交点作x轴的垂线将它们分解成若干个(曲边)梯形． 2．用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求曲边梯形面积的具体步骤为：分割、近似代替、求和、取极限． 1．(选修2－2 P56例1改编)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：选A.由得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积S＝(x2－x3)dx＝－＝，故选A. 2．(选修2－2 P59练习T1改编)一物体沿直线以v＝2t＋3(t的单位为s，v的单位为m/s)的速度运动，该物体在时间段[3，t0]内行进的路程为22 m，则t0的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 解析：选B.由变速直线运动路程与速度的关系得 (2t＋3)dt＝22， 即(t2＋3t) t03＝22， ∴t＋3t0－40＝0(t0＞3)， ∴t0＝5，故选B. 3.(选修2－2 P60B组T1(1)改编) dx的值为(　　) A．2π B．π C. D. 解析：选D.如图，y＝(0≤x≤1)表示以原点为圆心，半径为1的圆位于第一象限的弧，由几何意义知即为扇形的面积S＝. 4．(选修2－2 P60 A组T1(2)改编)曲线y＝－x2＋9与直线x＋y－7＝0所围成的图形的面积为________． 解析：如图，作出y＝－x2＋9与x＋y－7＝0的草图，所求的面积为图中阴影部分面积，由方程组 得交点的横坐标为x1＝－1，x2＝2. ∴所求的面积为S＝－1[(－x2＋9)－(7－x)]dx ＝ (－x2＋x＋2)dx ＝ ＝＋＝. 答案： 5．(选修2－2 P56例1改编)如图，曲线y＝x2与y2＝x的交点为A，过A分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为B、C，在矩形ACOB中任取一点M，则M取自阴影部分的概率为________． 解析：由解得x1＝0，x2＝1. ∴S阴影＝(－x2)dx＝＝. ∴点M取自阴影部分的概率为P＝＝＝. 答案： 　　　　　　定积分的计算　 (1)[直接计算]设f(x)＝则f(x)dx等于(　　) A.　　　　　　　B. C. D. (2)[利用几何意义计算] (＋x)dx的值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. [解析]　(1)如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx ＝x3＋ ＝＋＝. (2) (＋x) dx＝ dx＋x dx，根据定积分的几何意义可知 dx等于半径为1的半圆的面积，即 dx＝，x dx＝x2＝0， ∴ (＋x) dx＝. [答案]　(1)D　(2)A (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解． (2)对函数图象和与圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解．　　　　 1．定积分(2x＋ex)dx的值为(　　) A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1 解析：选C.(2x＋ex)dx＝(x2＋ex) ＝1＋e1－1＝e. 2．若 dx＝3＋ln 2(a＞1)，则a的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选A. dx＝(x2＋ln x) ＝a2＋ln a－1， ∴a2＋ln a－1＝3＋ln 2，则a＝2. 3．若定积分 dx＝，则m等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选A.根据定积分的几何意义知，定积分的值就是函数y＝的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于，而 dx＝， 即在区间[－2，m]上该函数图象应为个圆，于是得m＝－1，故选A. 　　　　　　定积分求平面图形面积及几何概型(1)[平面图形面积]曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________． (2)[几何概型]如图，点A的坐标为(1,0)，点C