立体几何解题技巧例说..docVIP

立体几何解题技巧例说 　　(一)有关点共线、点共面、面共线问题 　　【例1】已知D、E、F分别是三棱锥S－ABC的侧棱SA、SB、SC上的点，且直线FD与CA交于M，FE与CB交于N，DE与AB交于P，求证：M、N、P三点必共线． 　　点拨：证明若干个点共线的重要方法之一，是证明这些点分别是某两个平面的公共点． 　　证明：由已知，显然M、N、P在由D、E、F所在的平面，又M、N、P分别在直线CA、CB和AB上，故M、N、P必然在A、B、C所在的平面内，即M、N、P是平面DEF与平面ABC的公共点，∴它们必在这两个平面的交线上，故M、N、P三点共线． 　　点评：证明点共面、线共面的基本途径是先由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面，再证明其余元素在该平面内． 　　(二)有关空间角问题 　　【例2】在棱长都相等的四面体ABCD中， E、F分别为棱BC和AD的中点(如下图)． 　　(1)求AE与CF所成的角； 　　(2)求CF与面BCD所成的角． 　　点拨：(1)欲求两条异面直线所成的角，需将其中 一条平移到与另一条相交的位置，而平移时，常在 某一平面内进行． 　　(2)欲求直线与平面所成的角，需过该直线上的 　　某一点(异于与平面的交点)作该平面的垂线． 通常是在与该平面垂直的平面内作出这条垂线，而后便可作出线面角． 　　解：(1)在平面AED内，过F作FK∥AE，交ED于K，则∠CFK是异面直线AE与CK所成角(或是其补角)．该棱长为a，通过计算，可 　　 　　(2)∵各棱长均相等，E为BC中点，∴BC⊥AE，BC⊥DE 　　∴BC⊥面AED∴面AED⊥面ABC，过F作FH⊥ED于H，则FH⊥面BCD， 　　∴∠FCH是CF与面BCD所成的角． 　　 　　 　　【例3】已知D、E分别是正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA和BB上的点，且AD=2B1E=B1C1(如图) 　　求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面AB1C1所成二面角的大小． D、E、C1的面与棱柱底面只给出一个公共点C，而没有画出它与棱柱底面所成二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点，进而再求二面角的大小． AA1B1B内延长DE和A1B1交于FF是面DEC1与面AB1C1的公共点，CF为这两个平面的交线，所求的二面角就是D－C1F－A1的平面角． A1D∥B1E，且A1D=2B1E． 　　∴E、B1分别为DFA1F的中点， 　　∵A1B1=B1C1=A1C1， FC1⊥A1C1，又面AAC1C⊥面A1B1C1，FC在面AB1C1内 FC1⊥面AAC1C，而DC1在面AAC1C内， 　　∴PC1⊥DC1，∴∠DCA1是二面角DFC1－A的平面角． 　　点评：当所求的二面角没有给出它的棱时，可通过公理1和公理2，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角 　　作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理． 　　(三)有关空间距离问题 　　【例4】如图，ABCD是边长为4的正方形， E、F分别为AB、AD的中点，GC⊥面ABCD且CG=2． 求点B到平面GEF的距离． 　　点拨：因点B在面GEF的射影不好确定，所以不宜直接求其距离，由已知容易得出BD∥GEF，故可将求B到面GEF的距离问题转化为求直线BD与面GEF的距离来解决． 　　解法1：连接BD，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，又∵EF在面GEF内，而BD不在面GEF内，∴BD∥面GEF．∴B到面GEF的距离等于直线BD到面的距离，连接AC，分别交EF和BD于K，O，连GK，∵EF⊥AC，EF⊥GC，∴EF⊥面GCK．又在EF在面GEF内，∴面GEF⊥面GCK． 　　过O在面GCK内作OH⊥GK于H，则OH⊥面GEF， 　　∴OH即为BD平面GEF的距离． 　　 　　解法2：用体积法 　　∵BD∥EF，且EF在面GEF内，BD不在面GEF内，BD∥面GEF，BD与AC交于O，则B到面GEF的距离=BD到面GEF的距离=O到面GEF的距离． 　　∴VB-GEF=VO-GEF． O、C到面GEF的距离分别为h1，h， KO∶KC=1∶3，∴h1∶h2=1∶3， 　　 　　 　　(四)立体几何最值问题 　　【例5】已知如图等腰△ABC中AB=AC=13、BC=12，DE∥BC．分别交AB和AC于DE．将△ADE沿DE折起使得A到A′，且A′－DE－B为60°二面角．求A′到直线BC的最小距离． 　　点拨：首先应作出A′到BC的距离．显然A′到BC的距离的大小与DE的位置有关，而DE的位置又可由A点到DE的距离表示，由此，A′到BC的距离可表示为A到DE的距离的函数，进而可解决问题． 　　解：取BC的中点O，连AO交DE于O′． 　　∵AB=AC，∴AO⊥BC，