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S F 01（数） Ch 2 0 重积分 计划课时： 1 2 时 P 237—246 2002. 09.26 . Ch 20 重积分 ( 1 2 时 ) § 1 二重积分概念 ( 2 时 ) 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 . 定义 二重积分 . 用定义计算二重积分 . 用直线网分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点 为介点 . 解 . 二. 可积条件 : D . 大和与小和. Th 1 , . Th 2 , . Th 3 在D上连续 , 在D上可积 . Th 4 设, 为上的可积函数. D, ( 或 D ) . 若在D上有界 , 且在 D \ 上连续 , 则在D上可积 . [1]P261 E1 一般域上的二重积分： 定义： 一般域上的二重积分. 可求面积图形: 用特征函数定义. ( 不可求面积图形的例 ) [1]P262 E2 二重积分的性质 : 性质1 . 性质2 关于函数可加性 . 性质3 则在D上可积 在和 可积 , 且 . 性质4 关于函数单调性 . 性质5 . 性质6 . 性质7 中值定理 . [1]P263 E3. Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线 ( 或)组成 , 在D上连续 , 则在D上可积 . 去掉积分中的绝对值 . Ex [1]P264 1，2，6，7. § 2 二重积分的计算 ( 6 时 ) 一. 含参积分: 以实例 和 引入. 定义含参积分 和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th 20.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数 在上连续 . ( 证 ) [1]P265 Th 20.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续 , 则函数在上连续. ( 证 ) [1]P270 2. 含参积分的可微性及其应用: Th 20.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则 函数在上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) [1]P282 Th 20.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续, 函数和定义在 , 值域在上 , 且可微 , 则含参积分 在上可微 , 且 . ( 证 )[1]P283 例1 计算积分 . [1]P283—284 E11. 设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数 的阶导数存在 , 且 . [1]P284 E12. 二. 化二重积分为累次积分: 矩形域上的二重积分: 用“ 体[1]P266Th20.6和Th20.7. . [1]P268 E1. ( 8 ) 2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果为[1]P270Th20.9. 例5 , . 解法一 [1]P272 解法二 为三角形, 三个顶点为, . Ex [1]P285—286 1 ，2*， 3⑴，5⑴―⑶，10⑴. 例6 , . [1]P272 E3. 例7 求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积 . [1]P273 E4. 三. 二重积分换元: 1. 换元公式: 设变换的Jacobi , 则 , 其中是在该变换的逆变换下平面上的区域在平面 上的象. 由条件, 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换, 由此求出变换. 而 . 例8 , . [1]P280