(四边形培优题及答案.docVIP

1.（2012河南）如图，在菱形ABCD中，AB=2，,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN. （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）填空并证明：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形. 2. （2012浙江杭州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE． （1）求证：AF=DE； （2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长． 【答案】（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA。 ∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°， ∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA。 ∴△AED≌△DFA（SAS）。∴AF=DE。 （2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK。 ∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°。 ∴AB=BH=AH。 同理：CD=CK=KD。 ∵S梯形ABCD=，AB=a， ∴S梯形ABCD=。 又∵S△ABE=S△DCF=， ∴，解得：。 【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。 【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明△AED≌△DFA即可。 （2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。 （2012江苏南京）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 （1）求证：四边形EFGH为正方形； （2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。 【答案】（1）证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。 同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。 ∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。 ∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。 设AC与EH交于点M， 在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。 又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。 ∴四边形EFGH是正方形。 （2）解：连接EG。 在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点， ∴。 在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH， ∴，即四边形EFGH的面积为。 【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。 （2012江苏南通）如图，菱形ABCD中，∠B＝60o，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60o，求证：BE＝DF； (2)如图2，若∠EAF＝60o，求证：△AEF是等边三角形． 【答案】证明：（1）连接AC。 ∵菱形ABCD中，∠B=60°， ∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。 ∴△ABC是等边三角形。 ∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。 ∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。 ∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。 ∴EC=CF。∴BE=DF。 （2）连接AC。 ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。 ∴△ABC是等边三角形。 ∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。 ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。 ∴∠AEB=∠AFC。 在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC， AB=AC， ∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AE=AF。 ∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。 【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形， 又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。 （2）连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等