(第4讲五年级思维导引.docVIP

◇第4讲◇ 数的整除 【内容概述】 能被2，3，4，5，8，9，11整除的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填问题，乘积末尾零的个数计算。 1. 整数ａ除以整数b（b≠0），所得的商正好是整数而没有余数，我们就说ａ能被b整除（也可以说b能整除ａ），记作b|a。如：15÷5=3，所以15能被5整除（5能整除15），记作5|15. 反之，则称为不能整除，用 表示，如7 15. 如果整数a能被整数b（b≠0），则成a是b的倍数，b是a的约数。如15是5的倍数，5是15的约数。 特别的，注意0÷b=0（b≠0），所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数。 还有a÷1=a，所以说1能整除任何整数，1是任何整数的约数。 因为整除均在整数范围内考察，所以一下所指之数不特加说明均指整数。 2. 整除的性质： 性质1.如果c|a，c|b，那么c|（a±b）。 如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 性质2.如果bc|a，那么b|a，c|a， 如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。 性质3.如果b|a，c|a，且b、c互质，那么bc|a， 如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a 性质4.如果c|b，b|a，那么c|a。 如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 3.一些质数整除的数字特征（约数只有1和它本身的数，称为质数）： （1）能被2整除的数，其末位数字只能是0，2，4，6 ，8； （2）能被3整除的数，其各位的数字和能被3整除； （3）能被5整除的数，其末位数字只能是数字0，5； （4）能被7整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差（大减小）能被7整除（即能被7整除，7|-或7|-）； （5）能被11整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差（大减小）能被11整除（即能被11整除，11|-或11|-）或者，其奇数位数字之和减去偶数位数字之和所得的差能被11整除；表示这是一个多位数，而不是q与p、o、c、b、a等数的乘积，下同。 4.对于合数，先把合数分解质因数，再一个一个的考察。这样就化归为质数整除问题，对于分解质因数，详见《质数、合数与分解质因数》。 5.对于一些特殊的合数的判断方法. 能被4整除的数，末两位数能被4整除； 能被8整除的数，末三位数能被8整除； 能被25整除的数，末两位数能被25整除； 能被125整除的数，末三位数能被125整除； 能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数。 范例一 在公元9世纪，有个印度数学家-花拉子米写有一本《花拉子米算术》，他们计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算过程丢失而经常检验加法运算是否正确。所以后来人把这种算法称为“土盘算法”。 如1234+1898+18922+678967+178902=889923.他们看1234的数字和为10除以9余1，1898的数字和除以9余8，18922的数字和除以9余4，678967的数字和除以9余7，178902的数字和除以9余0，余数的和除以9余2；而等式的右边889923除以9的余数为3.所以上面的加法算式一定是错误的。 为什么呢？ 6. 若干个数相乘，求其末尾有多少个连续的0，只要把这个乘积中的因数2与5的个数分别找出来，其中较少的因数个数就是积的末尾连续的0的个数。 范例二 试求1981×1982×1983×1984×1985×…×2005这25个数相乘，积的末尾有多少个连续的“0”？ 【分析与解】 其中1985，1990，1995，2000，2005含有因数5分别有1，1，1，3，1个，所以共有1+1+1+3+1=7个因数5； 其中1982，1984，1986，1988，1990，1992，1994，1996，1998，2000，2002，2004含有因数2，分别有1，6，1，2，1，3，1，2，1，4，1，2个，所以共有