(竞赛讲座三角函数及其应用教师版.docVIP

三角函数及其应用 三角是代数与几何联系的“桥梁”，同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具． ☆三角与代数☆ 【例1】求证：． 证明：，， 由，． 证法2：，设，则， 设，， ∴函数单调区间↗，↘，↗， 又∵，及，， ∴． 【补充】求证： 【练习】，，求证：． 证明：∵， ∴，∴． ∴ ， ∴． 为锐角△的三个内角，求证：． 证法1：因为在区间上为上凸函数，由琴生(Jensen)不等式得 ， 又由得， ． 证法2： 为锐角△的三个内角，不妨设， ∴，， ∴ ． 【练习】为锐角△的三个内角，求证：． 证明： ， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 【例3】已知，求证：． 证明： 方法1：由已知，可设， 其中为锐角△的三个内角，则，，， 原不等式等价于，证法见例2． 方法2：， ， 只需证，即． 由，可知， 只需证加强不等式， 即， 即，由均值可知显然成立． 【练习】已知，求证：． 提示：设，原不等式等价于． 【变式】已知，求证：． 提示：设，原不等式等价于． （或将分别替换为将变为上面练习．） 【例4】设，且，求乘积的最大值和最小值． 【练习】设是三角形的三个内角，求证：，并确定其中的等号何时成立． 解析：不妨设，则，从而， 由此可得．再由，得到 ， 即， 于是， 为使， 必须满足，，这是不可能的， 从而． 另一方面，由可知， ． 当且仅当 即时，等号成立． 【例5】对于任意的正数、、、及△三内角A、B、C， 总有：． 证明： ∴． 【补充】求证： 【变式】 求证： 求证： 求证： 求证： 求证： 【练习】给定正整数，求最小的正数，使得对于任何， 只要，就有不大于． 解析：1°当时，， 当时，， 当时，设，则， 设，则， ，当即时取等号． 2°当时，， 先证 ① 不妨设， 要证明①式成立，只要证，② ，故． ， ， ， ， ， ③． 若③式成立，则②式成立． 若③式不成立，即，从而， ，．从而①式得证． 现证为最小的． 事实上，若，则取，从而存在 使得， 从而，但 ， 当时，最小的正数为． 综上所求最小正数． 【练习】设，求证：． ☆三角与几何☆ 【例6】已知点P是锐角△ABC内一点，使得∠PAB=∠PBC=∠PCA． 求证：． 证明： 证法1：设，∠PAB=∠PBC=∠PCA=则 ， 又，∴， ， ， ∴． 证法2：由角元式赛瓦（Ceva）定理得， ， 由， 得 ， ， 证法3：（平面几何证法）略 【练习】设P为△ABC内或边界上一点，点P到三边的距离为PD、PE、PF． 求证：． ∴， 同理，， 【补充】为锐角△的垂心，为垂足， 求证：（1）垂足△的周长； （2）为垂足△的内心； （3）九点圆半径为外接圆半径的一半。 提示：（1），， （切比雪夫不等式） 或由排序不等式可得 （2）； （3） 【例7】半径为的圆内接六边形ABCDEF中，AB=CD=EF=R，M、N、T、分别为BC、DE、FA中点，求证：△MNT为正三角形． 证明：设，则 同理 只需证：，即 即 只需证 ． ∴，同理，∴△MNT为正三角形． 【练习】AB为圆O的弦，C、D分别为弦AB的三等分点，M、N分别为劣弧上的三等分点，MC、ND交于点P，求证： 提示：，建系证明直线与斜率相等． 9 A B C P A B C P D E F