7分段低次插值.ppt

* ? 2009, Henan Polytechnic University * §7 分段低次插值 第二章 插值法 * 第七节 分段低次插值 我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、 Newton插值、Hermite 插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近，为得是得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在，我们来讨论一下这个问题。 我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，…，n)上的n次插值多项式Pn (x) 的余项 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时时，余项随n增大而趋于0的，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？ 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 Ln(x) ? f (x) ? 取 分段线性插值图例 几点说明： 2°可以预见，当n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。 1°分段线性插值多项式是分段函数； 3°Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。 下面的分段三次Hermite插值将克服这一缺点。 分段三次Hermite插值图例 分段三次插值法的优缺点 优点： 1°n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。 2°因为一阶导数连续，故光滑性较好。 缺点： 需提供插值点处的一阶导数，这在实际工作中较困难。 用较少的 导数条件 构造较光滑的 分段多项式？ 样条函数法是解决 这一问题的途径！ * * ? 2009, Henan Polytechnic University * §7 分段低次插值 第二章 插值法 * *